Давайте рассмотрим треугольник ABC подробнее. Пусть точка H - основание высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. Также, пусть точка O - точка пересечения медиан треугольника ABC.
Так как BKM - равнобедренный треугольник с основанием BM, то BM = BK. Также, так как AM - медиана треугольника ABC, то BM = 2MO. Отсюда получаем, что MO = BK/2.
Так как ABK - равнобедренный треугольник с основание AB и медианой BK, то углы ABK и BAK равны. То есть, угол BAC равен 2 углу BAK.
Также, так как BKM - равнобедренный треугольник с основанием BM и медианой BK, то углы BKM и BMK равны. То есть, угол BKM также равен 2 углу BAK.
Таким образом, углы BAC и BKM равны, и мы можем записать равенство:
2*(угол BAM + угол BMA) = угол BAC + угол BKM
Осталось найти выражение для угла BAC.
Рассмотрим треугольник ABH. Так как BH - высота треугольника ABC, то гипотенуза AB равна сумме катетов AH и HB. Так как BC - медиана треугольника ABC, то сила теоремы Пифагора нам говорит, что AH:HB = 2:1.
Пусть x - общая мера катетов AH и HB, тогда AH = 2x/3, HB = x/3 и AB = x.
Рассмотрим треугольник ABO. Так как AM - медиана треугольника ABC, то точка O делит сторону AC пополам. То есть, AO = OC = x/2.
Так как BMO - равнобедренный треугольник, то угол BMO равен углу BOM. То есть, угол BKM равен 2 углу BOA.
Так как в треугольнике BOA углы BAО и BAO равны, то угол BOA равен 180 - 2*угол BAM.
Таким образом, углы BAC и BKM записываются эквивалентно:
2*(2*угол BAM) = угол BAC + 2*(180 - 2*угол BAM)
Разложим эту последнюю формулу:
4*угол BAM = угол BAC + 360 - 4*угол BAM
Сгруппируем члены:
8*угол BAM = угол BAC + 360
Так как один угол треугольника равен 180 градусам, то:
180 + угол BAM + угол BMA = угол BAC + 360
Выразим углы BAM и BMA через угол BAC:
угол BAM + угол BMA = угол BAC + 180
Обратимся к заданному условию: треугольники ABK и BKM равнобедренные с основаниями AB и BM соответственно. Так как углы ABK и BKM равны, то также равны углы BKA и BMC. Но так как углы BAK и BAM равны, то полусумма углов BKA и BMC равна углу BAC. То есть, угол BKA + угол BMC = 2*угол BAC.
Таким образом, сумма углов BAM и BMA равна половине суммы углов BKA и BMC:
угол BAM + угол BMA = (угол BKA + угол BMC)/2
Так как угол BKA + угол BMC = 2*угол BAC, то:
угол BAM + угол BMA = (2*угол BAC)/2
Вычисляем:
угол BAM + угол BMA = угол BAC
Окончательный ответ: сумма углов BAM и BMA равна углу BAC.
