Обозначим отношение длин отрезков с помощью соответствующих букв латинского алфавита. Из условия задачи имеем:
BD / DC = 2 / 1,
BE / EA = 4 / 3,
CF / FE = 1 / 5.
Найдем соотношение AG / GD. Приравняем площади треугольников ABC и AGD:
S(ABC) = S(AGD).
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, стороны которого равны соответствующим сторонам треугольника и прямоугольника, проведенного к основанию параллелограмма.
Таким образом, получаем:
S(ABC) = (1/2) * BC * AD * sin(∠ABC) = (1/2) * BD * AC * sin(∠ABC),
S(AGD) = (1/2) * GD * AG * sin(∠AGD).
Очевидно, что ∠ABC = ∠AGD, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и GF. Также мы имеем AC = BC + BD, так как точка C принадлежит продолжению отрезка BD.
Подставляя все это в равенство площадей, получаем:
(1/2) * BC * AD * sin(∠ABC) = (1/2) * GD * AG * sin(∠AGD).
Упростив выражение, получаем:
BC * AD = GD * AG.
Теперь подставим известные значения отношений:
BC = 3DC,
BD = 2DC,
BE = 4EA,
EA = (3/4)BE,
CF = CE - FE.
Также заметим, что если CF / FE = 1 / 5, то CF = CE / 6 и FE = CE / 30.
Подставляя все это в равенство, получаем:
3DC * AD = GD * AG.
Подставим значения известных отношений:
3DC * AD = GD * AG.
Теперь найдем соотношение GD / AG. Заметим, что ∠GDA = ∠A + ∠D, так как они соответственные углы при параллельных прямых AD и CG. Следовательно, имеем:
tan(∠GDA) = tan(∠A + ∠D) = tan(∠A) + tan(∠D) / 1 - tan(∠A) * tan(∠D).
Заметим, что tan(∠A) = DC / AD и tan(∠D) = GD / AD. Подставляя это, получаем:
tan(∠GDA) = DC / AD + GD / AD / 1 - DC / AD * GD / AD = DC + GD / AD - DC * GD / AD2.
Используем тригонометрическое соотношение:
tan(∠GDA) = 2tan(∠GDA) / 1 - tan^2 (∠GDA).
Подставляя значения tan(∠GDA), получаем:
2(DC + GD / AD - DC * GD / AD2) / 1 - (DC + GD / AD - DC * GD / AD2)^2 = DC / AD + GD / AD / 1 - DC / AD * GD / AD = GD / AD.
Таким образом, AG / GD = (DC + GD / AD - DC * GD / AD2) / (2(DC + GD / AD - DC * GD / AD2) / (1 - (DC + GD / AD - DC * GD / AD2)^2)) = (GD / AD)^-1.
Поэтому, AG / GD = (GD / AD)^-1.
Используя равенство 3DC * AD = GD * AG, получаем:
AG / GD = 3DC / AD = GD / AG.
То есть, AG^2 = GD * DC.
Таким образом, имеем AG = sqrt(GD * DC).
Зная это, можно найти значение искомого отношения:
AG / GD = sqrt(GD * DC) / GD = sqrt(DC / GD).
Таким образом, ответ на задачу AG : GD = sqrt(DC / GD).
