Дан треугольник ABC, в котором на сторонах BC и AB отмечены точки D и E соответственно. Известно, что отношение BD к DC равно 2:1, а отношение BE к EA равно 4:3. Также проведены отрезки AD и CE, на которых отмечены точки G и F соответственно. Отношение CF к FE равно 1:5, а AC параллельно GF. Необходимо найти отношение AG к GD. Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельных прямых, из которого следует, что отношение длин соответствующих им отрезков на параллельных сторонах треугольников равно. То есть, отношение длин отрезков AG и GD должно быть равно отношению длин отрезков CE и EA. Для начала определим отношение длин отрезков CE и EA. Из условия задачи известно, что отношение BE к EA равно 4:3. Домножим обе части этого отношения на 5, чтобы уравнять знаменатели: BE : EA = 4 : 3 = 20 : 15. Теперь можем увидеть, что CE делится на 5 равных частей, а EA делится на 15 равных частей, то есть отношение длин CE к EA равно 1:3. Теперь найдем отношение длин отрезков AG и GD. Из условия задачи известно, что AC параллельно GF. Тогда, согласно свойству параллельных прямых, отношение длин отрезков AG и GD должно быть равно отношению длин отрезков CE и EA. То есть, AG : GD = CE : EA = 1 : 3. Таким образом, получаем, что отношение AG к GD равно 1:3.