Задача заключается в нахождении отношения длин отрезков AG и GD в треугольнике ABC с заданными условиями. Дано, что BD : DC = 1 : 2. Значит, отрезок BD составляет треть отрезка DC, а отрезок DC составляет две трети отрезка BD. Учитывая это, можно записать BD = x и DC = 2x, где x - некоторая положительная длина. Также дано, что BE : EA = 3 : 4. Значит, отрезок BE составляет три седьмых отрезка EA, а отрезок EA составляет четыре седьмых отрезка BE. Используя это, можно записать BE = (3/7)y и EA = (4/7)y, где y - некоторая положительная длина. Следующий шаг - построение отрезков AD и CE. По условию, отрезок CE проходит через точку F так, что CF : FE = 1 : 5. Значит, отрезок CF составляет одну шестую отрезка CE, а отрезок FE составляет пять шестых отрезка CF. Поэтому CF = (1/6)z и FE = (5/6)z, где z - некоторая положительная длина. Также по условию, на отрезке AD отмечена точка G такая, что AC и GF параллельны. Это означает, что треугольники ACF и GDF подобны. Используя это, можно записать соотношение между длинами отрезков: AG / GD = AC / CF. Осталось найти значения AC и CF. AC - это гипотенуза прямоугольного треугольника ADC. Мы знаем, что DC = 2x, а BD = x. Используя теорему Пифагора, можно записать: AC^2 = AD^2 + DC^2. Подставляя значения, получим: AC^2 = (2x)^2 + (3/7)y^2. Упрощая выражение: AC^2 = 4x^2 + (3/7)y^2. Теперь найдем значение CF. Мы знаем, что FE = (5/6)z. Обратимся к треугольнику AEF. Он также является прямоугольным, поэтому можно использовать теорему Пифагора: AF^2 = AE^2 + EF^2. Подставляя значения, получим: AF^2 = (4/7)y^2 + (5/6)z^2. Осталось найти выражение для AC / CF: AC / CF = sqrt[(4x^2 + (3/7)y^2) / ((1/6)z)^2]. Упрощая выражение: AC / CF = 2sqrt(7) * sqrt[(12x^2 + 3y^2) / z^2]. Таким образом, отношение AG : GD равно: AG : GD = AC / CF = 2sqrt(7) * sqrt[(12x^2 + 3y^2) / z^2].