Обозначим отношения сторон треугольника следующим образом: BD : DC = 1 : 2, (1) BE : EA = 4 : 3. (2) Из условия CF : FE = 1 : 6, очевидно, что FC : CE = 1 : 1 + 6 = 1 : 7. То есть, треугольник CFE - это деление CE в отношении 1 : 7. Пусть CE = x. Тогда CF = x/8 и FE = 7x/8. Одновременно из (1) и (2) получаем: BD/DC = 1/2, BE/EA = 4/3. Суммируем первое и второе уравнение: BD/DC + BE/EA = 1/2 + 4/3. Общим знаменателем для дробей в левой части уравнения будет 6 * 3 = 18. Поэтому получим: (3 * BD + 2 * BE)/(2 * DC + 3 * EA) = 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6. Учитывая, что BD/DC = 1/2 и BE/EA = 4/3, в числителе мы получаем уравнение: (3 * BD + 2 * BE) = 7 * BD. А в знаменателе: (2 * DC + 3 * EA) = 7 * DC. Имеем: 7 * BD/7 * DC = 7/6. Мы знаем, что 7 * BD/7 * DC = (3 * BD + 2 * BE)/(2 * DC + 3 * EA). Заметим, что требуемое отношение AG : GD такое же, как и CE : EG. Тогда заметим такую закономерность: AG : GD = CE : EG = CE/EG. Обозначим EG = y. Тогда AG = x - y. У нас есть следующие соотношения: AG/GD = (x - y)/y, CE/EG = x/y. Исходя из этого, можно записать: AG/GD = CE : EG = CE/EG = x/y. Найдём CE/EG в нашем треугольнике. Имели CF/FE = 1 : 6. Тогда у нас такая же закономерность в этом треугольнике: CE/EG = FC/CE. Из x + 7x/8 = CE получаем, что CE = 15x/8. Из "словаря коэффициента подобия" для треугольников CFE и CEG, характеризующих деление биссектрисы CE треугольника C на 8 и 15 равных отрезков, находим соответствующие частные отрезки: GF/FA = FC/CE = 1/8. Используя это соотношение, находим: GF = CE/8 = 15x/8 * 1/8 = 15x/64. Аналогично, AG/GD = GF/FA = 15x/64 : 3x/64 = 5 : 3. Таким образом, AG : GD = 5 : 3.