Дан треугольник ABC, в котором на сторонах BC и AB отмечены точки D и E такие, что BD : DC = 1 : 2 и BE : EA = 4 : 3. Рассмотрим отношения BC : CD и BA : AE: BC : CD = 1 : 2 BA : AE = 4 : 3 По свойству отношений линейных отрезков можно сделать следующие выводы: 1) Если два отрезка имеют отношение a : b, то их продолжения также имеют отношение a : b. 2) Если два отрезка имеют отношение a : b, то их сумма также имеет отношение a : b. Используя данные отношения, можно сделать вывод, что на продолжении отрезка BC, за точкой C, будет располагаться точка D', такая что CD' : D'B = 1 : 2, аналогично на продолжении отрезка BA, за точкой A, будет располагаться точка E', такая что AE' : E'C = 4 : 3. Теперь рассмотрим треугольник ABC и найдем его площадь. Пусть S обозначает площадь треугольника ABC. S = 1/2 * AB * h1 = 1/2 * BC * h2 где h1 и h2 - высоты треугольника ABC, опущенные из точек D и E соответственно. Из геометрических свойств треугольника можно сделать вывод, что h1 : h2 = BC : AB. Тогда S = 1/2 * BC * BC : AB = 1/2 * BC^2 : AB. Аналогично можно записать площадь треугольника CBD': S' = 1/2 * CD' * CD' : BD' = 1/2 * CD'^2 : BD'. Также площадь треугольника ABE' равна S = 1/2 * AB * AB : AE = 1/2 * AB^2 : AE. Найдем отношение S : S': S : S' = (1/2 * BC^2 : AB) / (1/2 * CD'^2 : BD') = BC^2 * BD' / (AB * CD'^2). Теперь воспользуемся теоремой Менелая, которая устанавливает условия, при которых три прямые, проведенные внутри треугольника, пересекаются в одной точке. Применим теорему Менелая к треугольнику ABC с прямыми AD, CE и GF, пересекающимися в одной точке. Получаем следующее отношение: AG * DF * BC / GC * CE * AB = 1. Из условия задачи известно, что CF : FE = 1 : 6, значит, CF = x, а FE = 6x, где x - какое-то положительное число. Из условия CF : FE = 1 : 6 также следует, что CE = x + 6x = 7x. Также из задачи известно, что AC || GF, значит, мы можем воспользоваться свойством соответственных углов и теоремой Талеса. Из трафаретных свойств соответственных углов следует, что: DF / BC = CF / GC. Подставим известные значения: DF / BC = x / GC. Теперь применим теорему Талеса: AG * DF * BC / GC * CE * AB = 1. AG * x * BC / GC * (7x) * AB = 1. Подставим на место DF / BC значение x / GC: AG * (x * BC / GC) * (7x) * AB = 1. AG * (AG * GC / BC) * CE * AB = 1. Заметим, что AG * GC / BC = S / S', так как AG * GC / BC и S / S' имеют одинаковый смысл - отношение площадей треугольников ABC и CBD'. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом: S / S' * CE * AB = 1. Из предыдущего рассуждения S / S' = BC^2 * BD' / (AB * CD'^2), поэтому уравнение принимает вид: BC^2 * BD' / (AB * CD'^2) * CE * AB = 1. Сократим BC, AB и BD': BD' * CE / CD'^2 = 1. Теперь заметим, что BD' / CD' = BD / CD, так как BD' и CD' являются продолжениями отрезков BD и CD. А в задаче дано, что BD : CD = 1 : 2. Тогда уравнение принимает следующий вид: BD * CE / CD'^2 = 1. Надо найти AG : GD. Заметим, что AG = GD + DA, ибо DA и AG являются продолжениями отрезка GD. Тогда AG : GD = (GD + DA) : GD = 1 + (DA / GD) = 1 + (BD / CD). Итак, чтобы найти AG : GD, нужно найти BD и CD. По условию задачи BD : CD = 1 : 2. Если сумма коэффициентов пропорции равна 1, то сумма соответствующих частей прямо пропорциональна суммам соответствующих частей другой пропорции. BD + CD = AB. BD + BD * 2 = AB. 3BD = AB. BD = AB / 3. Теперь найдем CD: CD = AB - BD = AB - AB / 3 = AB * 2 / 3. Тогда AG : GD = 1 + BD / CD = 1 + (AB / 3) / (AB * 2 / 3) = 1 + 1 / 2 = 3 / 2. Ответ: AG : GD = 3 : 2.