Задача предлагает нам найти значение угла ∠BPQ. Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC и найдём значения всех его углов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, мы можем найти третий угол: ∠C = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 70° – 54° = 56°. Теперь, когда у нас есть все значения углов треугольника ABC, давайте посмотрим, как связаны точки P и Q с углами треугольника. Так как окружность проходит через точки A и B, угол ∠PAB равен 180° (угол на окружности, соответствующий хорде AB). Также, так как точка P лежит на отрезке AC, то угол ∠PAC равен 180° – ∠C, так как ∠PAC является внешним углом треугольника BAC. Теперь у нас есть два угла в треугольнике PAB: угол PAB и угол PAC, и мы можем найти значение угла ∠BPA: ∠BPA = 180° – ∠PAB – ∠PAC = 180° – 180° – 56° = 0°. Следовательно, угол ∠BPA является прямым углом. Аналогично, можно показать, что угол ∠BQC также является прямым углом. Теперь давайте рассмотрим треугольник BPQ. Мы знаем, что сумма AQ + BP должна быть минимальной, и мы хотим найти значение угла ∠BPQ, при котором это выполняется. Есть одно важное свойство, которое нам поможет в этом. Если сумма двух углов при основании треугольника равна 180°, то треугольник будет прямоугольным. В нашем случае, ∠BPA + ∠BQC = 0° + 0° = 0°, что равно 180°. Значит, треугольник BPQ является прямоугольным, и угол ∠BPQ является прямым углом. Следовательно, угол ∠BPQ равен 90°.