Пусть угол BPQ равен α. Тогда, так как угол ABC равен 57°, угол BQC тоже равен 57°. Поскольку угол PBC равен 90° (так как лежит на диаметре окружности), угол BPC равен 90° - 57° = 33°. Также, так как угол BAC равен 66°, угол PAC равен 180° - 66° - 57° = 57°. Таким образом, треугольник BPC является прямоугольным с уголами BPC = 33° и PBC = 90°. Обозначим через α' угол PBQ, тогда BQA’ = α’. Также, угол ABQ равен 66° - α’. Так как сумма углов треугольника равна 180°, получаем, что угол BA’Q равен 180° - (66° - α’) - 57° = 57° + α’. По условию, AQ + BP принимает наименьшее возможное значение. Так как угол PBC равен 33°, угол PBA’ равен 90° - 33° = 57°. Также, угол PBQ равен α. Тогда угол BPA’ равен α + 57°. Очевидно, что наименьшее значение суммы AQ + BP будет достигаться, когда точки P и Q будут симметричными относительно прямой AB, то есть когда угол BPQ равен α = α’. В этом случае сумма AQ + BP принимает минимальное значение AB. Таким образом, угол BPQ равен α = α' = 33°. Ответ: ∠BPQ = 33°.