Определим углы треугольника ABC по теореме суммы углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Подставим известные значения и найдем: 52° + 44° + ∠C = 180°, 96° + ∠C = 180°, ∠C = 84°. Угол ∠C равен 84°. Окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Посмотрим на построение:

       A

     /    

    /______

   B        C 

Так как точка P лежит на окружности, а точка A является концом хорды, то угол BPA равен половине пересекаемого им дуги, т.е. угол BPA = ∠BOA/2. Аналогично, угол BQC = ∠BOA/2. Следовательно, угол BPQ = (∠BOA/2) + (∠BOA/2) = ∠BOA. Так как точка P лежит на отрезке AC, а точка A является концом отрезка, то угол BPA является внутренним углом треугольника BAC. А по теореме суммы углов треугольника, внутренние углы треугольника BAC, BCA и ABC равны 180°. Так как ∠BAC + ∠ABC = 180°, то ∠BAC = 180° - ∠ABC. Подставим известные значения и найдем ∠BAC: ∠BAC = 180° - 52° = 128°. Теперь найдем ∠BOC, сумма углов которого равна 360°, так как BOC - центральный угол, опирающийся на всю окружность. ∠BOC = 360° - (∠BOA + ∠AOC). Внутренние углы треугольника BOC равны: ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°. Подставим известные значения и найдем ∠BOC: ∠BOC + 44° + 84° = 180°, ∠BOC = 180° - 128° - 44° = 8°. Угол ∠BOC равен 8°. Теперь мы знаем все углы треугольника BPQ, представленного на построении:

        B

       / | 

   BP /  |   BQ

     /   |   

    P __|____ Q

          O    

∠BPQ = ∠BOC = 8°. Ответ: угол ∠BPQ равен 8°.