Пусть точка O находится на окружности, описанной вокруг треугольника ABC, и мы знаем, что AO = BO. Также пусть точка M - середина отрезка ОС. Тогда OM - это биссектриса угла BOC. Заметим, что ∠AOC = 184°. Так как ∠BOC = 2∠AOC, то ∠BOC = 368°. Теперь рассмотрим треугольник POM. В нем угол PMO равен 1/2∠POQ, и ∠OPM равен 1/2∠OCМ, то есть 1/2∠BOC. Так как ∠BOC = 368°, то ∠OPM = 1/2 * 368° = 184°. Также известно, что точка P лижет на продолжении отрезка AM за точку M, поэтому ∠APM = 180° - ∠OMC = 180° - 92° = 88°. Теперь мы можем вычислить угол ∠BPA, зная, что ∠BAP = 52°: ∠BPA = 180° - 52° - 88° = 40°. Так как AQ = AP (угол ∠PAQ = 180° - ∠BAP = 140°), то BP + AQ = BP + AP = BP + AQ = BA. Теперь мы можем заметить, что ∠BPQ = ∠BPA + ∠APQ = 40° + (180° - ∠PAQ) = 40° + 40° = 80°. Таким образом, угол ∠BPQ равен 80 градусов.