Дан треугольник ABC, в котором известны величины углов: ∠A = 66°, ∠B = 57°, ∠C = 57°. Нам нужно найти угол ∠BPQ. Пусть точка M — это середина дуги AB, и она также лежит на отрезке PQ. Тогда треугольник ABC — это равнобедренный треугольник, так как углы ∠B и ∠C равны. Значит, ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠A - ∠B) / 2 = (180° - 66° - 57°) / 2 = 57°. Так как точка M является серединой дуги AB, угол ∠AMB равен половине меры дуги AB, а значит ∠AMB = (1/2) * (2∠BAC) = ∠BAC = 57°. Треугольник APQ — это равнобедренный треугольник, так как углы ∠P и ∠Q лежат на одной дуге MP и равны друг другу. Так как ∠AMP и ∠AMB — это смежные углы, то ∠AMP = ∠AMB = 57°. Аналогично, так как ∠BMP и ∠BMC — это смежные углы, то ∠BMP = ∠BMC = 57°. Теперь рассмотрим треугольник BMP. Сумма его углов должна быть равна 180°: ∠BMP + ∠MPB + ∠MPQ = 180°. Подставим найденные значения углов: 57° + ∠MPB + ∠MPQ = 180°. Сложим углы ∠MPB и ∠MPQ на основании того, что углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: 57° + (∠MPB + ∠MPQ) = 180°. ∠MPB + ∠MPQ = 180° - 57° = 123°. Но мы знаем, что ∠MPB = ∠MPQ, так как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Получается: 2 * ∠MPQ = 123°, ∠MPQ = 61.5°. Так как AB является хордой окружности, угол ∠BPQ равен ∠MPQ / 2: ∠BPQ = ∠MPQ / 2 = 61.5° / 2 = 30.75°. Итак, угол ∠BPQ равен 30.75°.