Обозначим неизвестный угол ∠BPQ за x. Поскольку точка P лежит на окружности, то угол ∠BAP равен половине дуги BP, то есть ∠BAP = ∠BP/2. Отсюда ∠BAQ = ∠BAP + ∠PAQ = ∠BP/2 + ∠PAQ. Точка Q также лежит на окружности, поэтому угол ∠BAQ равен половине дуги AQ, то есть ∠BAQ = ∠AQ/2. В треугольнике AQB имеем ∠BAQ + ∠B + ∠AQB = 180° (сумма углов треугольника). Подставим найденные значения: ∠AQ/2 + 54° + ∠B = 180°. Выразим ∠AQ: ∠AQ = 360° - 2*54° - 2*∠B. Также из условия задачи известно, что ∠AQ + ∠BP = ∠AQ + ∠PAQ = константа. Теперь суммируем ∠AQ и ∠BP и применим выражение для ∠AQ, полученное выше: ∠AQ + ∠BP = ∠AQ + ∠PAQ = ∠AQ + (∠BAP + ∠BP) = 360° - 2*54° - 2*∠B + (∠BP/2 + ∠PAQ). 300° = 360° - 108° - ∠BP + ∠BP/2 + ∠PAQ. 202° = ∠PAQ + (∠BP/2 - ∠BP). Теперь применим неравенство треугольника, согласно которому сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны: AQ + BP > AB. Поскольку мы ищем минимальное значение для суммы AQ + BP, то приравниваем AQ + BP к AB: AQ + BP = AB. Согласно косинусовой теореме, в треугольнике ABC можно выразить длину AB: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2*AC*BC*cos(∠C) (теорема косинусов) AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2*AC*BC*cos(56°) Найдем выражение для AQ + BP: AQ + BP = (√(AP^2 + AQ^2)) + (√(BP^2 + BQ^2)). Учтем, что AP = AC + CP, а BP = BC - CP: AQ + BP = (√((AC + CP)^2 + AQ^2)) + (√((BC - CP)^2 + BQ^2)). Теперь можем отправиться к минимизации выражения для AQ + BP. Вернемся к выражению 202° = ∠PAQ + (∠BP/2 - ∠BP) и посмотрим, как связаны с углом ∠BPQ углы, встречающиеся в нем: ∠PAQ и ∠BP. Если ∠BP становится меньше, то ∠BP/2 - ∠BP сильно увеличивается, так как числитель становится меньше, а знаменатель остается неизменным. Таким образом, ∠PAQ становится больше и сумма AQ + BP увеличивается. Наивыгоднее будет иметь ∠BP максимально возможным, чтобы ∠BP/2 был минимальным. Из неотрицательности ∠BP следует, что ∠BP = 0°. Теперь нам нужно найти значение ∠BPQ, при котором ∠BP = 0°. Поскольку ∠BPQ является внешним углом треугольника ABC, ∠BPQ = ∠C + ∠B = 56° + 54° = 110°. Ответ: угол ∠BPQ равен 110°.