Известно, что сумма AQ + BP принимает наименьшее возможное значение. Это означает, что нужно найти такие точки P и Q, чтобы их расстояние до луча AB (продолжение отрезка AB) было минимальным. Для начала построим окружность, проходящую через точки A и B. Обозначим центр окружности как O. <img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?dpi{100}&space;large&space;text{АQ&plus;BP&space;наименьшее&space;значение}" alt="large text{АQ+BP наименьшее значение}" /> Заметим, что угол AQO равен углу B и угол BPO равен углу A, так как это углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AB окружности. Теперь рассмотрим треугольник AQO. У нас есть два равных угла: ∠OQA и ∠QAO, так как они опираются на одну и ту же сторону QA и фиксированную сторону AO. <img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?dpi{100}&space;large&space;text{Равны&space;углы&space;OQA&space;и&space;QAO}" alt="large text{Равны углы OQA и QAO}" /> Из равенства углов следует, что треугольник AQO является равнобедренным. То есть, стороны AQ и AO равны. Аналогично рассмотрим треугольник BPO. У нас есть два равных угла: ∠OPB и ∠PBO. Также, из равенства углов следует, что треугольник BPO является равнобедренным. То есть, стороны BP и BO равны. <img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?dpi{100}&space;large&space;text{Равны&space;стороны&space;QP&space;и&space;OB}" alt="large text{Равны стороны QP и OB}" /> Обозначим точку пересечения луча OB и отрезка AC как X и точку пересечения луча OA и отрезка BC как Y. Очевидно, что Y лежит на отрезке AC и X лежит на отрезке BC. Кроме того, у нас уже есть равные стороны в треугольниках AQO и BPO. Теперь рассмотрим треугольник QPB. Из равенства сторон следует, что ∆APB и ∆OQB подобны. <img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?dpi{100}&space;large&space;text{Подобные&space;треугольники&space;APB&space;и&space;OQB}" alt="large text{Подобные треугольники APB и OQB}" /> Так как стороны AB и OB равны, то углы ∠B и ∠QBO равны. То есть, ∠QBO = ∠B = 54°. Из подобия треугольников мы можем сказать, что ∠BPQ равен соответственному углу ∠AOQ. <img src="https://latex.codecogs.com/svg.latex?dpi{100}&space;large&space;text{Угол&space;BPO&space;равен&space;углу&space;QAO}" alt="large text{Угол BPO равен углу QAO}" /> Так как у нас уже известна величина угла B, мы можем найти ∠BPQ как разность ∠B и ∠QBO: ∠BPQ = ∠B - ∠QBO = 54° - 54° = 0° Таким образом, угол ∠BPQ равен 0°.