Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством окружностей. Если точка находится на окружности, то ее расстояние до двух точек пересечения линии, проходящей через центр окружности, равно.
Обозначим точку пересечения окружности с отрезком AC как P'. Тогда AP = AP' и BP = BP'.
Из условия задачи известно, что сумма AQ + BP принимает наименьшее возможное значение.
Рассмотрим треугольник AP'Q. В нем угол AP'Q = C = 84 градуса.
Угол P'QA равен (180 - C) = 96 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Угол BP'Q = 180 - AP'Q - P'QA = 180 - 84 - 96 = 0 градусов.
Таким образом, треугольник BP'Q является вырожденным и P' и Q совпадают.
Так как AQ = AP + PQ = AP' + PQ и BP = BP' + PQ, и PQ является общей для них, сумма AQ + BP будет минимальной, когда AP' и BP' будут наименьшими.
Таким образом, наши исходные точки P и Q будут лежать на отрезках, соединяющих вершины треугольника ABC с точками на окружности.
Рассмотрим треугольники ABC и AB'Q, где B' - точка пересечения окружности с отрезком BC.
Угол ABC = A = 52 градуса, угол AB'C равен arc(ABC), где arc(ABC) - дуга, образованная углом ABC на описанной окружности.
Так как стороны, смежные с углами равны, то угол CAB равен (180 - A - arc(ABC))/2 = (180 - 52 - arc(ABC))/2.
Аналогично, угол AB'Q равен (180 - B - arc(ABC))/2.
Tang(A) = AP'/BP' = sin(B'P'A)/sin(AP'B').
Tang(52) = 2*R(sin(2*R + (180 - A - arc(ABC))/2))/(2*R*sin((180 - B - arc(ABC))/2)),
где R - радиус окружности.
Будем использовать закон синусов для треугольника AB'Q:
(sin(52)/BQ) = (sin((180 - B - arc(ABC))/2))/AB'
и закон синусов для треугольника AP'B':
(BP'/sin((180 - B' - arc(ABC))/2)) = (AP'/sin((180 - A - arc(ABC))/2))
Tang(52) = (sin(2*R + (180 - A - arc(ABC))/2))/(sin((180 - B - arc(ABC))/2))
=(sin(2*R + (180 - B - arc(ABC))/2))/(sin((180 - A - arc(ABC))/2))*(sin((180 - A - arc(ABC))/2))/(sin((180 - B - arc(ABC))/2))
(sin(52)/BQ) = (sin((180 - B - arc(ABC))/2))/AB'
=(sin((180 - B - arc(ABC))/2))/(sin((180 - A - arc(ABC))/2))*(sin((180 - A - arc(ABC))/2))/AB'
Так как AB'Q и AP'B' - прямоугольные треугольники, и AB', AP' и AQ - стороны треугольника ABC, то формулы расстояния для этих треугольников есть:
BQ = R*sin((180 - B - arc(ABC))/2)
AB' = R*sin((180 - A - arc(ABC))/2)
AP' = R*sin((180 - A - arc(ABC))/2)
AP = R*sin((180 - A)/2)
Тогда
R*sin(52)*sin((180 - B - arc(ABC))/2) = R*sin((180 - B - arc(ABC))/2)*sin((180 - A - arc(ABC))/2)*(sin((180 - A - arc(ABC))/2))/(R*sin((180 - B - arc(ABC))/2))*R*sin((180 - A)/2)
Oтсюда имеем
sin(52) = sin((180 - A - arc(ABC))/2)sin((180 - A)/2)/sin((180 - B - arc(ABC))/2).
Так как sin(52) = sin(128) = sin((180 - 128)), то
sin((180 - A - arc(ABC))/2)sin((180 - A)/2) = sin((180 - B - arc(ABC))/2)
Таким образом, угол BPQ равен (180 - B - arc(ABC))/2.
Подставляем в формулу значение угла ABC:
(180 - 44 - arc(ABC))/2 = (180 - 44 - arc(2*R*sin((180 - 52))/sin(52)))/2.
Остается найти значение дуги arc(2*R*sin((180 - 52))/sin(52)).
Из формулы, которую мы вывели выше, получаем:
0 = sin(2*R + (180 - B - arc(ABC))/2),
откуда
2*R + (180 - B - arc(ABC))/2 = 180.
Тогда
(180 - B - arc(ABC))/2 = 180 - 2*R,
что равно (180 - 44 - arc(2*R*sin((180 - 52))/sin(52)))/2.
Сократим уравнение на 4:
(136 - arc(ABC))/2 = 45 - R,
откуда
arc(ABC) = 272 - 2*R.
Теперь подставим в уравнение выражение для угла BPQ и решим его относительно R:
R = (180 - 44 - 272 + 2*R)/2,
R/2 = (180 - 316)/-1,
R/2 = 136,
R = 272.
Тогда
(180 - B - arc(ABC))/2 = (180 - 44 - 272)/2 = -136/2 = -68.
Ответ: угол BPQ равен -68 градусов.
