Дан треугольник ABC со сторонами AB, BC, AC и углами A, B, C. Также дано, что ∠A = 52°, ∠B = 44°, ∠C = 84°. Известно, что окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Мы должны найти угол ∠BPQ. Для начала, рассмотрим треугольник ABC. Известно, что сумма углов треугольника равна 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° 52° + 44° + ∠C = 180° 96° + ∠C = 180° ∠C = 180° - 96° ∠C = 84° Таким образом, мы получаем, что каждый из углов треугольника ABC равен указанным значениям. Далее, мы должны найти угол ∠BPQ. Обратимся к теореме о международном дополнении. Согласно этой теореме, если два угла дополняют друг друга, то их сумма равна 180°. В нашем случае угол ∠BPQ является дополнением к углу ∠AQP: ∠BPQ + ∠AQP = 180° Так как сумма AQ + BP должна принимать наименьшее возможное значение, значит, отрезки AQ и BP должны быть наименьшей длины, а следовательно, между ними должна быть проведена кратчайшая дуга окружности PABQ. Теперь рассмотрим треугольник AQP. В этом треугольнике угол ∠AQP является внутренним углом треугольника, поскольку лежит между отрезками AQ и AP. То же самое относится и к углу ∠ABP в треугольнике ABP. Таким образом, чтобы получить наименьшую сумму AQ + BP, мы должны минимизировать длины AQ и BP и провести кратчайшую дугу окружности PABQ. В данном случае, если провести кратчайшую дугу окружности PABQ, она будет проходить через точку C. Итак, угол ∠BPQ будет прямым углом (180°), так как он будет являться дополнением к углу ∠AQP (так как сумма углов треугольника должна быть равна 180°).