Для решения этой задачи мы воспользуемся геометрическими свойствами треугольника и окружности. Заметим, что если окружность проходит через точки A и B, то она также проходит через точку C. Это следует из того, что любые три точки, лежащие на плоскости, определяют окружность, если никакие две из этих точек не лежат на одной прямой. Также заметим, что если окружность пересекает отрезок AC, то она должна пересекать и продолжение этого отрезка, то есть продолжение отрезка AC до точки B. Из этих свойств следует, что точка Q находится на продолжении отрезка BC, а точка P находится на продолжении отрезка AC (см. рисунок).

A--------Q---C

|       /

|      /

|     /

|    /

|   B----P

|

|

Теперь предположим, что угол BPQ - прямой. По свойству, угол, стоящий на окружности, всегда равен половине дуги, охватываемой этим углом. В данном случае, если угол BPQ прямой, то дуги AP и AQ равны, так как они охватывают одинаковый угол (AVR). Но поскольку нас интересует сумма AQ + BP, то в сумме эти дуги войдут дважды (дуга AP войдет один раз как AQ, а дуга AQ войдет один раз как BP). То есть, сумма AQ + BP будет равна удвоенной дуге AP. Теперь обратимся к треугольнику ABC. Мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. То есть,∠A + ∠B + ∠C = 180°. Если мы выражаем ∠B через известные нам углы, то получим: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 63° - 64° = 53°. Мы видим, что это значение угла B совпадает с известным нам значением ∠B из условия задачи. Значит, треугольник ABC является равнобедренным, то есть, стороны AB и CB равны. Значит, дуги AP и BP также равны. Таким образом, если ∠BPQ - прямой угол, то сумма AQ + BP будет равна двум дугам AP. Наименьшее возможное значение суммы AQ + BP будет достигаться, если эта сумма равна дуге AP. Так как дуги AP и BP равны, то дуга AP равна половине дуги AQ. Заметим, что углы ∠A и ∠C не участвуют в этом равенстве, так как мы рассматриваем только дуги AP и BP. Так как ∠A = 63°, ∠B = 53°, ∠C = 64°, то сумма ∠A + ∠C = 63° + 64° = 127°. Значит, дуга AQ равна половине дуги ∠AQC (или ∠CQA), которая в свою очередь равна половине суммы ∠A + ∠C, то есть половине 127°. Получаем, что дуга AQ равна 63.5°. Так как дуги AP и BP равны, то дуга AP тоже равна 63.5°. Таким образом, наименьшее возможное значение суммы AQ + BP равно двум дугам AP, то есть 2 * 63.5° = 127°. По свойству, угол, стоящий на окружности, всегда равен половине дуги, охватываемой этим углом. Значит, угол ∠BPQ равен половине дуги BP. Так как дуги AP и BP равны, и угол ∠BPQ стоит на дуге BP, то угол ∠BPQ равен половине дуги AP, то есть половине 63.5°, что равно 31.75°. Таким образом, угол ∠BPQ равен 31.75°.