Для решения данной задачи воспользуемся свойствами окружности и треугольника.
Условие задачи говорит нам о том, что окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Мы можем предположить, что P и Q являются точками пересечения отрезков AO и BO с окружностью, где O - центр окружности.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Известно, что сумма величин углов треугольника равна 180 градусов. Поэтому угол ∠C равен (180 - 66 - 57) = 57 градусов. Также, учитывая, что ∠B = ∠C = 57 градусов, получаем, что треугольник BOC является равнобедренным (BO=CO).
Рассмотрим теперь равнобедренный треугольник BOC. Так как BO=CO и ∠B=∠C=57 градусов, то угол ∠BOC равен (180 - 57 - 57) = 66 градусов.
Аналогичными рассуждениями мы можем получить, что угол ∠AOC равен 66 градусов.
Теперь мы можем заметить, что ∠BAO = ∠BAQ + ∠QAO и ∠BPO = ∠BPA + ∠PAO.
Рассмотрим треугольник ABP. Сумма его углов равна 180 градусов. Так как ∠B = 57 градусов и ∠BPO = ∠BPA + ∠PAO, то ∠BPA равен (180 - 57 - ∠PAO). Также, учитывая что ∠A = 66 градусов и ∠BAO = ∠BAQ + ∠QAO, получаем, что ∠BAQ равен (180 - 66 - ∠QAO).
Таким образом, мы выразили ∠BPA и ∠BAQ через ∠PAO и ∠QAO.
Теперь рассмотрим сумму AQ+BP. Она будет минимальной, когда ABP и BAQ будут прямыми углами (180 градусов).
Зная, что ∠BPA + ∠BAQ = 180 градусов, мы можем записать:
(180 - 57 - ∠PAO) + (180 - 66 - ∠QAO) = 180.
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
360 - ∠PAO - ∠QAO - 57 - 66 = 180,
-∠PAO - ∠QAO = -117.
Так как ∠PAO и ∠QAO являются углами треугольника ABC, и сумма величин его углов равна 180 градусов, то ∠PAO + ∠QAO + ∠BOC = 180.
Зная, что ∠BOC = 66 градусов, мы можем записать:
∠PAO + ∠QAO + 66 = 180,
∠PAO + ∠QAO = 114.
Теперь мы имеем систему уравнений:
-∠PAO - ∠QAO = -117,
∠PAO + ∠QAO = 114.
Решая эту систему уравнений, найдем значения ∠PAO и ∠QAO:
∠PAO = 15.5 градусов,
∠QAO = 98.5 градусов.
Таким образом, мы получили, что ∠BPQ = ∠BPA + ∠BAQ = (180 - 57 - ∠PAO) + (180 - 66 - ∠QAO) = (180 - 57 - 15.5) + (180 - 66 - 98.5) = 108 градусов.
Ответ: угол ∠BPQ равен 108 градусов.
