Для решения данной задачи воспользуемся свойствами медианы и высоты в треугольнике. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Обозначим через `M` середину стороны `AC`. По условию задачи медиана `BM` делит угол `B` на три равные части. Пусть точка пересечения высоты `BH` с медианой `BM` обозначена как `O`. Тогда угол `BOM` будет одним из трех равных углов. Доказательство равенства этих углов можно провести следующим образом: 1. Проведем окружность, проходящую через точки `B`, `H` и `M`. 2. Так как медиана `BM` является радиусом окружности, то она равна радиусу, проведенному из точки центра окружности `O`. 3. Отрезок `OH` является радиусом окружности, а также лежит на высоте `BH`. Значит, он равен радиусу окружности. Таким образом, получаем равенство `BM = BO = BH` и угол `BOM` будет одним из трех равных углов. Теперь рассмотрим треугольник `OBC`. Так как медиана `BM` делит угол `B` на три равные части, то угол `BOC` будет равен `60°`. Обозначим через `BC` длину стороны треугольника `ABC`. Так как угол `BOC` равен `60°`, то угол `BOC` является треугольником равнобедренным. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол `BAC` равен половине разности углов при основании `BC` (угол `BOC` равен `60°`). Так как сумма углов треугольника равна `180°`, то угол `BAC` равен `(180° - 60°) / 2 = 60° / 2 = 30°`. Так как медиана `BM` делит угол `B` на три равные части, то угол `BMC` также будет равен `30°`. Таким образом, в треугольнике `BMC` два угла равны `30°`, а третий угол `120°` (так как сумма углов треугольника равна `180°`). Так как в треугольнике `BOM` два угла равны `60°` (углы при основании), то третий угол `BOM` также равен `60°`. Итак, мы получили, что в треугольнике `ABC` углы при вершинах `A` и `C` равны `30°`, а угол при вершине `B` равен `120°`. Теперь рассмотрим стороны треугольника `ABC`. Поскольку `BM` делит сторону `AC` в отношении 2:1, то `AM = 2CM`. Обозначим через `x` длину отрезка `AM`. Тогда длина отрезка `MC` будет `2x`. Используя теорему Пифагора в треугольнике `ABC`, получим следующее уравнение: `AB^2 = AC^2 + BC^2` `AB^2 = 10^2 + (2x)^2` Также, в треугольнике `ABM` можно применить синусную теорему, чтобы найти отношение стороны `AB` к углу при вершине `A`: `AB/sin(BAC) = AM/sin(AMB)` `AB/sin(30°) = x/sin(60°)` `AB/0.5 = x/√3/2` `AB = x√3` Теперь подставим это значение в уравнение Пифагора: `(x√3)^2 = 10^2 + (2x)^2` `3x^2=100+4x^2` `x^2 = 100/2 = 50` `x = √50 = 5√2` Следовательно, `AB = 5√2 ∙ √3 = 5√6`. Так как `BM` является медианой, то она делит сторону `AC` пополам. Значит, `CM = 2.5√2`. Теперь можем вычислить сторону `BC` с помощью уравнения: `BC = 2CM = 2 ∙ 2.5√2 = 5√2`. Таким образом, периметр треугольника `ABC` равен `AB + BC + AC = 5√6 + 5√2 + 10`. Полный ответ: периметр треугольника `ABC` равен `5√6 + 5√2 + 10`.