Для начала обозначим стороны треугольника АВС как а, b и с. Положим, что АВ = а, ВС = b, АС = c.
Из условия СВ1 : СА = 2 : 5 следует, что В1С1 : C1А = 2 : 5. Так как АС1 : С1В = 1 : 6, то можем представить отношение С1А1 : А1В1 как произведение этих двух отношений: СА1:С1В * СВ1:СА = 1/6 * 2/5 = 1/15.
Площадь треугольника СС1А равна 160 кв.см. Площадь треугольника можно вычислить, зная его высоту и основание. Высота треугольника СС1А — это расстояние от точки С1 до прямой, проведенной через пункт А, перпендикулярно СС1А. Обозначим это расстояние как h.
Площадь треугольника СС1А равна (c * h) / 2. Мы знаем, что c = а, так как это сторона, противоположная углу С в треугольнике. Умножим обе части равенства на 2 и подставим полученное выражение для площади:
h = (2 * S) / a, где S — площадь треугольника СС1А.
Теперь вспомним, что согласно условию С1О = 18 см. Перед нами треугольник С1ОА с известными сторонами С1О и ОА. Мы можем найти его площадь, используя формулу:
S(С1ОА) = (1/2) * С1О * ОА * sin(угол С1ОА).
Нам известны длины сторон ОА и С1О, так что нам нужно найти только синус угла С1ОА. Опять же, вспомним, что отношение С1О : С1А = 2 : 5, значит, sin(угол С1ОА) = 2 / (√(5^2 + 2^2)) = 2 / √29.
Подставляем все значения в формулу для площади треугольника С1ОА:
S(С1ОА) = (1/2) * 18 * h * (2 / √29),
откуда можно выразить h:
h = (2 * S(С1ОА) * √29) / (18 * 2),
h = S(С1ОА) * √29 / 18.
Подставим значение выражения для h в формулу для площади треугольника СС1А:
160 = (а * (S(С1ОА) * √29) / 18) / 2.
Умножим обе части равенства на 18:
2880 = а * (S(С1ОА) * √29) / 2,
или
5760 = а * S(С1ОА) * √29.
Таким образом, мы получаем, что а = 5760 / (S(С1ОА) * √29). Если мы найдем S(С1ОА), мы сможем посчитать а и далее СС1.
У нас уже есть выражение для площади треугольника С1ОА:
S(С1ОА) = (1/2) * 18 * h * (2 / √29),
S(С1ОА) = 18 * h / √29.
Мы знаем, что С1О = 18 см, а значит, h = (2 * S) / a = (2 * 160) / а.
Подставляем значение h в формулу для S(С1ОА):
S(С1ОА) = 18 * (2 * 160) / (а * √29).
Теперь мы имеем выражение для S(С1ОА) через а. Возвращаясь к формуле для а:
а = 5760 / (S(С1ОА) * √29),
подставляем это значение в предыдущее выражение для S(С1ОА):
S(С1ОА) = 18 * (2 * 160) / (5760 / (S(С1ОА) * √29) * √29),
S(С1ОА) = (5760 * (2 * 160) * √29) / (5760 * 29) = (2 * 160 * √29) / 29.
Теперь мы знаем значение S(С1ОА) и можем подставить его в формулу для а:
а = 5760 / (((2 * 160 * √29) / 29) * √29),
а = 5760 * (√29 / (2 * 160 * √29)) = 5760 / 320 = 18.
Значит, а = 18. Мы можем найти СС1, используя отношение СВ1 : СА = 2 : 5. Обозначим СС1 как х. Тогда В1С1 будет равно (2 / 5) * х, и СВ1 будет равно (7 / 5) * х.
Площадь треугольника СВ1С1 равна (c * h) / 2. Мы знаем, что c = а, а h это (2 * S) / a = (2 * 160) / а = 320 / 18 = 40/3. Теперь мы можем выразить площадь треугольника СВ1С1 через его основание и высоту:
160 = (18 * (2 * 40/3)) / 2.
Умножим обе части равенства на 2 и решим относительно x:
320 = 18 * 40/3,
x = (320 * 3) / 720 = 4/3.
Таким образом, СС1 = 4/3 см.
