Дан треугольник АВС, у которого известны величины углов: ∠LA = 63°, ∠LB = 53°, ∠LC = 64°. Также известно, что окружность, проходящая через точки А и В, повторно пересекает отрезки AC и ВС в точках Р и Q соответственно. Нужно найти значение угла ∠BPQ. Известно, что сумма AQ + BP принимает наименьшее возможное значение. Для решения этой задачи воспользуемся свойством окружности. Пусть O - центр окружности, проходящей через точки А и В. Тогда треугольник АВО является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу окружности. Тогда угол ∠OAB = ∠OBA = 60°. Так как угол ∠LA = 63°, то ∠OLA = 180° - 63° - 60° = 57°. Также, так как угол ∠LB = 53°, то ∠OLB = 180° - 53° - 60° = 67°. Теперь рассмотрим треугольник ОРC. Он является прямоугольным, так как сторона OC является диаметром окружности (угол, заключенный диаметром окружности, равен 90°). Окончательно имеем ∠ORC = 180° - ∠OLC = 180° - 57° = 123°. Так как ∠BQC является вертикальным углом для ∠CRCQ, то ∠BQC = ∠CRCQ = 123°. Теперь рассмотрим треугольник ОBP. Угол BPA является центральным углом, опирающимся на дугу AQ, и равен половине этой дуги. Значит, угол BPA = 1/2 · ∠BAQ. Так как ∠CAB является внешним углом для треугольника ОAC, то ∠BAQ = ∠CAB = ∠OAC = 63°. Тогда ∠BPA = 1/2 · 63° = 31.5°. Также ∠BAO является внешним углом для треугольника АВС, а значит, ∠BAO = ∠C. Так как ∠C = 64°, то ∠BAO = 64°. Тогда ∠BPO = ∠BPA - ∠BAO = 31.5° - 64° = -32.5°. Теперь рассмотрим треугольник ОPQ. Так как ∠OPC является внутренним углом треугольника ОRC, его дополнительный угол равен ∠BQC = 123°. Тогда ∠OPQ = 180° - ∠OPC - ∠CPQ = 180° - 123° - 90° = -33°. Так как P является внешней точкой для треугольника ОАВ, то ∠BPQ = ∠BOP + ∠OPQ = (-32.5°) + (-33°) = -65.5°. Таким образом, угол ∠BPQ равен -65.5°.