Для решения данной задачи мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит: [frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}] где (a), (b), и (c) - стороны треугольника, (A), (B), и (C) - соответствующие им углы. В данной задаче у нас уже известны два угла треугольника: (A = 45^circ) и (B = 60^circ). Мы также знаем сторону (BC = 4). Мы хотим найти сторону (AC). Обозначим ее за (a). Применим теорему синусов: [frac{a}{sin A} = frac{c}{sin C}] Так как (A = 45^circ), мы можем записать: [frac{a}{sin 45^circ} = frac{c}{sin C}] Заметим, что так как сумма углов треугольника равна (180^circ), то угол (C) равен (180^circ - 45^circ - 60^circ = 75^circ). Подставляем известные значения в уравнение: [frac{a}{sin 45^circ} = frac{4}{sin 75^circ}] Мы можем упростить это соотношение, зная, что (sin 45^circ = frac{sqrt{2}}{2}) и (sin 75^circ = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}): [frac{a}{frac{sqrt{2}}{2}} = frac{4}{frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}}] Упростим это уравнение, умножая обе части на (frac{2}{sqrt{2}}) и (frac{4}{sqrt{6} + sqrt{2}}): [a = frac{4 cdot 2}{sqrt{6} + sqrt{2}}] [a = frac{8}{sqrt{6} + sqrt{2}}] Мы можем умножить числитель и знаменатель на (sqrt{6} - sqrt{2}), чтобы избавиться от необходимости иметь комбинацию корней в знаменателе: [a = frac{8(sqrt{6} - sqrt{2})}{(sqrt{6} + sqrt{2})(sqrt{6} - sqrt{2})}] [a = frac{8(sqrt{6} - sqrt{2})}{sqrt{6}^2 - sqrt{2}^2}] Поскольку (sqrt{6}^2 = 6) и (sqrt{2}^2 = 2), то: [a = frac{8(sqrt{6} - sqrt{2})}{6 - 2}] [a = frac{8(sqrt{6} - sqrt{2})}{4}] [a = 2(sqrt{6} - sqrt{2})] Таким образом, мы нашли, что сторона (AC) равна (2(sqrt{6} - sqrt{2})).