Для доказательства того, что $angle AOB = 90^{circ}$, начнем с того, что заметим, что $angle AOC = angle BOD$, поскольку они являются соответственными углами и перпендикулярны друг к другу. Также заметим, что биссектриса угла делит его на две равные части. Так как горизонтальные стороны трапеции являются основаниями, мы можем заметить, что $angle ADH=angle CBG$, где $H$ и $G$ являются точками пересечения биссектрисы с соответствующими сторонами. Теперь обратимся к треугольникам $triangle AHO$ и $triangle BGO$. Учитывая, что биссектриса делит углы на равные части, у нас есть $angle OAH = angle OBG$ и $angle OHA = angle OGB$. Кроме того, у нас есть $angle HOA = angle GOB$, так как они являются вертикальными углами, а вертикальные углы равны. Теперь мы можем заключить, что $triangle AHO sim triangle BGO$ по стороне-уголу-стороне. Это значит, что отношение сторон треугольников (AH, HO, OA) и (BG, GO, OB) будет одинаковым. Рассмотрим отношение $$ frac{OH}{AO}. $$ Согласно определению подобных треугольников, это отношение равно отношению $$ frac{HO}{OB}, $$ что можно записать как $$ frac{OH}{AO} = frac{HO}{OB}. $$ Перемножим оба равенства по сторонам: $$ OH cdot OB = HO cdot AO. $$ Рассмотрим теперь прямоугольники, построенные на сторонах трапеции. Обозначим через $P$ и $Q$ высоты трапеции соотвествующие перпендикуляры из точек A и B. Тогда прямоугольник на стороне AO будет иметь площадь равную $OH cdot AB$, а прямоугольник на стороне BO будет иметь площадь равную $OB cdot AB$. Отсюда, мы можем записать: $$ OH cdot AB = HO cdot AB. $$ Поскольку $AB$ - это общая сторона, которая величается на обеих сторонах уравнения, мы можем сократить на $AB$ и получаем: $$ OH = HO. $$ Это означает, что точка $O$ является точкой пересечения высот трапеции, то есть точкой пересечения диагоналей. Теперь обратимся к тому, что нужно доказать, а именно, что точка $O$ лежит на средней линии трапеции. Чтобы это увидеть, заметим, что высоты трапеции равны между собой, следовательно, они делятся точкой пересечения диагоналей (точкой $O$) на две равные части. Таким образом, точка $O$ является серединой высоты трапеции. Поскольку середины двух сторон треугольника соединены отрезком, который параллелен третьей стороне и в половину ее длины, мы можем заключить, что отрезок $DC$ - это средняя линия трапеции, и он проходит через точку $O$. В результате мы доказали, что $angle AOB = 90^{circ}$, и что точка $O$ лежит на средней линии трапеции.