В данной задаче нас просят найти наибольшее количество дорог, которые могут быть в стране с 15 городами, удовлетворяющей условию, что для любого города А найдутся три города, которые не соединены между собой дорогами. Для начала давайте рассмотрим самый простой случай, когда в стране всего 2 города. Обозначим эти города как А и B. В таком случае есть всего лишь одно возможное соединение – дорога между А и B. Заметим, что это соответствует условию задачи: для города А имеется 1 город (B), который соединен с ним дорогой, и нет трех городов, которые не соединены между собой дорогами. Теперь рассмотрим случай, когда в стране 3 города: А, B и C. Обозначим количество дорог между городами А, B и С как а, b и с соответственно. Так как для каждого города должно быть найдено 3 города, не соединенных между собой дорогами, то у каждого города должны быть как минимум 3 дороги. Предположим, что мы строим наибольшее количество дорог. В таком случае, город А соединен дорогами с городами B и C, город B соединен дорогами с городами А и C, а город C соединен дорогами с городами А и B. Таким образом, у каждого города есть ровно 3 дороги. При этом городы B и C также должны быть соединены между собой дорогой, чтобы для города А было найдено ровно 3 города, не соединенных между собой дорогами. Итак, имеем 3 дороги для каждого города и дополнительную дорогу между городами B и C. В итоге получаем 6 дорог. Теперь рассмотрим случай для 4 городов – А, B, C и D. Аналогично предыдущему случаю, каждый город должен иметь минимум 3 дороги. Построим максимальное количество дорог, удовлетворяющих условию задачи. Город А будет соединен дорогами с городами B, C и D. Город B также будет соединен дорогами с городами A, C и D. Для города С существуют две возможности: - Соединить его дорогами с городами А, B и D. В таком случае, у города D не будет 3 городов, не соединенных между собой дорогами. Более подробно: - Город C будет соединен дорогами с городами А, B и D. В этом случае у города D есть уже две дороги - с А и C. Тогда для того, чтобы у города D было найдено еще три города, не соединенных между собой дорогами, требуется еще одна дорога. Данная дорога может быть только между городами B и D. Итак, получаем: А: 3 дороги (B, C, D); B: 3 дороги (A, C, D); C: 3 дороги (A, B, D); D: 4 дороги (A, B, C, B-D). - Соединить его дорогами только с городами А и B. В таком случае у города D будет найдено ровно 3 города, не соединенных между собой дорогами. Более подробно: - Город C будет соединен дорогами с городами А и B. Для города D будет найдено ровно 3 города, не соединенных между собой дорогами. А их соединение может быть только между городами А и D. Итак, получаем: А: 3 дороги (B, C, D); B: 3 дороги (A, C, D); C: 2 дороги (A, B); D: 3 дороги (A, B, A-D). В любом случае, мы получаем, что для 4 городов нужно минимум 6 дорог. Предположим, что мы строим наибольшее количество дорог. Тогда у каждого города будет ровно 3 дороги, в сумме 12. При этом, чтобы соединить все 4 города между собой различными парами дорог, нам еще потребуется сделать две дороги: между городами А и C, и между городами B и D. В итоге получаем 14 дорог. Обобщая, мы можем заметить закономерность: для n городов (где n > 3) наибольшее количество дорог будет равно n-1 + n-2 + ... + 3 + 2 + 1. Теперь рассмотрим случай с 15 городами. Применяя формулу суммы арифметической прогрессии, получаем: 14 + 13 + ... + 3 + 2 + 1 = (14*15)/2 = 105. Итак, наибольшее количество дорог в данной стране с 15 городами равно 105.