Для решения данной задачи воспользуемся формулой Бернулли.
Пусть событие A - обанкротится ровно половина банков, событие B - повышение ключевой ставки на заседании Центрального банка, событие C - обанкротится банк.
Необходимо найти вероятность события A при условии, что произошло событие B:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Найдем вероятности P(B) и P(A∩B):
P(B) - вероятность повышения ключевой ставки на заседании Центрального банка.
Так как в среднем одно заседание из пяти заканчивается повышением ставки, то P(B) = 1/5.
P(A∩B) - вероятность того, что ровно половина банков обанкротятся и произойдет повышение ключевой ставки.
Обозначим n - количество банков, которые могут обанкротиться. Тогда n может принимать значения от 0 до 4.
Рассмотрим каждый возможный вариант значения n:
1. n = 0.
Вероятность того, что не обанкротится ни один банк, равна (1 - 0.15)^4 = 0.443705.
Вероятность того, что произойдет повышение ставки при этом случае, равна 1/5.
P(A∩B|n=0) = 0.443705 * 1/5 = 0.088741.
2. n = 1.
Вероятность того, что обанкротится один банк, равна (0.15 * 0.85^3 + 0.85 * 0.15 * 0.85^2 + 0.85^2 * 0.15 * 0.85 + 0.85^3 * 0.15) = 0.373537.
Вероятность того, что не обанкротится ни один из оставшихся банков, равна (1 - 0.15)^3 = 0.508844.
Вероятность того, что произойдет повышение ставки при этом случае, равна 1/5.
P(A∩B|n=1) = 0.373537 * 0.508844 * 1/5 = 0.037324.
3. n = 2.
Вероятность того, что обанкротится два банка, равна (0.15^2 * 0.85^2 + 0.15 * 0.85^2 * 0.15 + 0.15 * 0.85 * 0.15 * 0.85 + 0.85 * 0.15^2) = 0.309276.
Вероятность того, что не обанкротится ни один из оставшихся банков, равна (1 - 0.15)^2 = 0.7225.
Вероятность того, что произойдет повышение ставки при этом случае, равна 2/5 (так как при повышении ставки вероятность обанкротиться удваивается).
P(A∩B|n=2) = 0.309276 * 0.7225 * 2/5 = 0.133071.
4. n = 3.
Вероятность того, что обанкротится три банка, равна (0.15^3 * 0.85 + 0.15^2 * 0.85 * 0.15 + 0.15 * 0.85 * 0.15^2 + 0.85 * 0.15^3) = 0.183828.
Вероятность того, что не обанкротится ни один из оставшихся банков, равна (1 - 0.15) = 0.85.
Вероятность того, что произойдет повышение ставки при этом случае, равна 2/5.
P(A∩B|n=3) = 0.183828 * 0.85 * 2/5 = 0.062585.
5. n = 4.
Вероятность того, что обанкротится четыре банка, равна 0.15^4 = 0.0081375.
Вероятность того, что все банки обанкротятся, равна (0.0081375 + 0.0081375*0.15 + 0.0081375*0.15^2 + 0.0081375*0.15^3) = 0.0097093.
Вероятность того, что все оставшиеся банки обанкротятся, равна 0.15^4 = 0.0081375.
Вероятность того, что произойдет повышение ставки при этом случае, равна 2/5.
P(A∩B|n=4) = 0.0097093 * 0.0081375 * 2/5 = 0.000031255.
Таким образом,
P(A∩B) = P(A∩B|n=0) + P(A∩B|n=1) + P(A∩B|n=2) + P(A∩B|n=3) + P(A∩B|n=4) = 0.088741 + 0.037324 + 0.133071 + 0.062585 + 0.000031255 = 0.321752.
Тогда, P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.321752 / (1/5) = 1.608759.
Ответ: вероятность того, что ровно половина банков обанкротится при условии повышения ключевой ставки на заседании Центрального банка, составляет 1.608759.
