Дано два вектора a⃗={0;6;2} и b⃗={5;-2;2}, а также вектор c⃗=-2a⃗+4b⃗. Чтобы найти проекции вектора c⃗ на оси, нужно разложить его на компоненты, соответствующие каждой из осей. Разложим вектор c⃗ на ось ı⃗: ĉ₁ = c⃗ * (ı⃗ / ||ı⃗ ||^2), где ĉ₁ - проекция вектора c⃗ на ось ı⃗ , а ||ı⃗ ||^2 - квадрат длины вектора ı⃗ . Длина вектора ı⃗ равна 1, так как это нормированный базисный вектор. Тогда проекция вектора c⃗ на ось ı⃗ равна скалярному произведению векторов c⃗ и ı⃗ : ĉ₁ = c⃗ * ı⃗ = (-2a⃗ + 4b⃗) * ı⃗ = -2(a⃗ * ı⃗) + 4(b⃗ * ı⃗). Вычислим сначала скалярное произведение векторов a⃗ и ı⃗ : (a⃗ * ı⃗) = (0*1) + (6*0) + (2*0) = 0. Теперь найдем скалярное произведение векторов b⃗ и ı⃗ : (b⃗ * ı⃗) = (5*1) + (-2*0) + (2*0) = 5. Таким образом, проекция вектора c⃗ на ось ı⃗ равна: ĉ₁ = -2(a⃗ * ı⃗) + 4(b⃗ * ı⃗) = -2(0) + 4(5) = 20. Аналогично найдем проекции вектора c⃗ на остальные оси: Разложим вектор c⃗ на ось ȷ⃗ : ĉ₂ = c⃗ * (ȷ⃗ / ||ȷ⃗ ||^2). Длина вектора ȷ⃗ равна 1, так как это нормированный базисный вектор. Проекция вектора c⃗ на ось ȷ⃗ равна скалярному произведению векторов c⃗ и ȷ⃗ : ĉ₂ = c⃗ * ȷ⃗ = (-2a⃗ + 4b⃗) * ȷ⃗ = -2(a⃗ * ȷ⃗) + 4(b⃗ * ȷ⃗). Вычислим сначала скалярное произведение векторов a⃗ и ȷ⃗ : (a⃗ * ȷ⃗) = (0*0) + (6*1) + (2*0) = 6. Теперь найдем скалярное произведение векторов b⃗ и ȷ⃗ : (b⃗ * ȷ⃗) = (5*0) + (-2*1) + (2*0) = -2. Таким образом, проекция вектора c⃗ на ось ȷ⃗ равна: ĉ₂ = -2(a⃗ * ȷ⃗) + 4(b⃗ * ȷ⃗) = -2(6) + 4(-2) = -12 - 8 = -20. Разложим вектор c⃗ на ось k⃗ : ĉ₃ = c⃗ * (k⃗ / ||k⃗ ||^2). Длина вектора k⃗ равна 1, так как это нормированный базисный вектор. Проекция вектора c⃗ на ось k⃗ равна скалярному произведению векторов c⃗ и k⃗ : ĉ₃ = c⃗ * k⃗ = (-2a⃗ + 4b⃗) * k⃗ = -2(a⃗ * k⃗) + 4(b⃗ * k⃗). Вычислим сначала скалярное произведение векторов a⃗ и k⃗ : (a⃗ * k⃗) = (0*0) + (6*0) + (2*1) = 2. Теперь найдем скалярное произведение векторов b⃗ и k⃗ : (b⃗ * k⃗) = (5*0) + (-2*0) + (2*1) = 2. Таким образом, проекция вектора c⃗ на ось k⃗ равна: ĉ₃ = -2(a⃗ * k⃗) + 4(b⃗ * k⃗) = -2(2) + 4(2) = 4. Таким образом, проекции вектора c⃗ на оси определяемые векторами декартова базиса равны: ĉ₁ = 20, ĉ₂ = -20, ĉ₃ = 4.