Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением.
Пусть успешным событием будет выбор стандартного изделия, а неуспешным - выбор бракованного изделия. Вероятность успешного события равна 1 - 0,1 = 0,9, а вероятность неуспешного события равна 0,1.
По определению биномиального распределения, закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных будет иметь вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где X - случайная величина, представляющая число стандартных изделий среди отобранных,
n - число отобранных изделий (в данном случае равно 3),
p - вероятность успешного события (выбор стандартного изделия).
Коэффициент C(n, k) (читается "n по k") представляет собой количество сочетаний из n элементов по k, и может быть вычислен по формуле:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),
где n! - факториал числа n.
Вычислим закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных:
P(X = 0) = C(3, 0) * 0,9^0 * 0,1^(3 - 0) = 1 * 1 * 0,001 = 0,001,
P(X = 1) = C(3, 1) * 0,9^1 * 0,1^(3 - 1) = 3 * 0,9 * 0,01 = 0,027,
P(X = 2) = C(3, 2) * 0,9^2 * 0,1^(3 - 2) = 3 * 0,81 * 0,1 = 0,243,
P(X = 3) = C(3, 3) * 0,9^3 * 0,1^(3 - 3) = 1 * 0,729 * 1 = 0,729.
Таким образом, закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных будет иметь вид:
P(X = 0) = 0,001,
P(X = 1) = 0,027,
P(X = 2) = 0,243,
P(X = 3) = 0,729.
Чтобы найти числовые характеристики этого закона, найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X можно найти по формуле:
E(X) = Σ(x * P(X = x)),
где x - значение случайной величины, P(X = x) - вероятность, соответствующая этому значению.
Вычислим математическое ожидание:
E(X) = 0 * 0,001 + 1 * 0,027 + 2 * 0,243 + 3 * 0,729 = 0 + 0,027 + 0,486 + 2,187 = 2,7.
Следовательно, математическое ожидание случайной величины X равно 2,7, что означает, что в среднем среди отобранных 3 изделий около 2,7 изделий будут стандартными.
Дисперсию случайной величины X можно найти по формуле:
Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x)),
где Var(X) - дисперсия случайной величины.
Вычислим дисперсию:
Var(X) = (0 - 2,7)^2 * 0,001 + (1 - 2,7)^2 * 0,027 + (2 - 2,7)^2 * 0,243 + (3 - 2,7)^2 * 0,729
= (-2,7)^2 * 0,001 + (-1,7)^2 * 0,027 + (-0,7)^2 * 0,243 + (0,3)^2 * 0,729
= 7,29 * 0,001 + 2,89 * 0,027 + 0,49 * 0,243 + 0,09 * 0,729
= 0,00729 + 0,077943 + 0,118917 + 0,06561
= 0,269767.
Следовательно, дисперсия случайной величины X равна 0,269767.
Таким образом, закон распределения числа стандартных изделий среди отобранных имеет вид:
P(X = 0) = 0,001,
P(X = 1) = 0,027,
P(X = 2) = 0,243,
P(X = 3) = 0,729.
Математическое ожидание равно 2,7, а дисперсия равна 0,269767.
