У нас есть две окружности - n и u. Окружность n проходит через точки P и Q и имеет радиус Rn. Окружность u касается окружности n в точке S и имеет радиус Ru. Хорда PQ равна 15 и касается окружности u в точке T. Нам нужно найти длину отрезка PT. Для начала, давайте посмотрим на отношение SP к SQ. У нас есть SP:SQ=1:4, что означает, что SP составляет 1/5 всей хорды, а SQ составляет 4/5. Также, так как PT и SQ касаются окружности u в одной точке T, они равны друг другу. То есть PT=SQ. Теперь давайте рассмотрим треугольник PST. У нас есть две известные стороны - PT и ST (так как ST является радиусом окружности u), и один известный угол - угол PST. Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти PT. Закон косинусов гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C) Где c - сторона противолежащая углу С, а и b - две известные стороны треугольника. В нашем случае, PT - это сторона противолежащая углу PST, а ST - это одна известных сторон. Угол PST - это угол между радиусом ST и хордой PT. Так как PT=SQ, мы можем заменить PT на SQ в формуле: SQ^2 = ST^2 + PT^2 - 2*ST*PT*cos(PST) Сокращая SQ с обеих сторон: ST^2 = PT^2 + PT^2 - 2*ST*PT*cos(PST) ST^2 = 2*PT^2 - 2*ST*PT*cos(PST) Теперь, давайте преобразуем это уравнение. ST^2 + 2*ST*PT*cos(PST) = 2*PT^2 Поскольку PT=SQ, мы можем заменить PT на SQ: ST^2 + 2*ST*SQ*cos(PST) = 2*SQ^2 Теперь, запишем отношение SP к SQ: SP/SQ = 1/5 Так как SP+SQ=15, мы можем записать SP через SQ: SP = 15 - SQ Подставим это значение в уравнение: (15 - SQ)^2 + 2*ST*SQ*cos(PST) = 2*SQ^2 Раскроем скобки: 225 - 30*SQ + SQ^2 + 2*ST*SQ*cos(PST) = 2*SQ^2 245 = 32*SQ - 2*ST*SQ*cos(PST) Теперь, давайте рассмотрим треугольник STQ. У нас есть две известные стороны - SQ и ST, и угол QST между ними. Мы можем использовать закон косинусов, чтобы найти cos(QST). Закон косинусов гласит: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C) Где c - сторона противолежащая углу С, а и b - две известные стороны треугольника. В нашем случае, SQ - это сторона противолежащая углу QST, а ST - это одна известных сторон. Угол QST - это угол между сторонами SQ и ST. Подставляем известные значения: ST^2 = SQ^2 + SQ^2 - 2*SQ*SQ*cos(QST) ST^2 = 2*SQ^2 - 2*SQ^2*cos(QST) ST^2 + 2*SQ^2*cos(QST) = 2*SQ^2 Раскроем скобки: ST^2 + 2*SQ^2*cos(QST) = 2*SQ^2 Теперь, сравним это уравнение с уравнением, которое мы получили ранее: ST^2 + 2*ST*SQ*cos(PST) = 2*SQ^2 Мы видим, что оба уравнения имеют сумму квадрата стороны и двойные произведения сторон на cos углов. Поэтому, мы можем сравнить коэффициенты: 2*ST*SQ*cos(PST) = 2*SQ^2*cos(QST) ST*cos(PST) = SQ*cos(QST) Теперь у нас есть равенство косинусов двух различных углов. Так как косинус QST - это отношение прилежащего катета (ST) к гипотенузе (SQ), и косинус PST - это отношение прилежащего катета (ST) к гипотенузе (PT), PT также является гипотенузой прямоугольного треугольника APQ. Значит, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения PT. Теорема Пифагора утверждает: c^2 = a^2 + b^2 Где c - гипотенуза, а и b - катеты прямоугольного треугольника. В нашем случае: PT^2 = SP^2 + PQ^2 Подставляем известные значения: PT^2 = (15 - SQ)^2 + 15^2 PT^2 = 225 - 30*SQ + SQ^2 + 225 PT^2 = SQ^2 - 30*SQ + 450 Теперь, давайте посмотрим на полученные уравнения для PT и ST: PT^2 = SQ^2 - 30*SQ + 450 ST*cos(PST) = SQ*cos(QST) Мы видим, что оба уравнения содержат два слагаемых, включающих квадрат SQ. Поэтому, для упрощения, мы можем назвать x = SQ. Тогда, уравнение для PT станет: PT^2 = x^2 - 30x + 450 А уравнение для ST*cos(PST) станет: ST*cos(PST) = x*cos(QST) Теперь, вспомним, что PT=SQ и подставим это значение в уравнение: SQ^2 = x^2 - 30x + 450 Теперь, у нас есть два уравнения: SQ^2 = x^2 - 30x + 450 ST*cos(PST) = x*cos(QST) Теперь, давайте рассмотрим треугольник PST. У нас есть известная сторона PT (которая равна SQ) и два известных угла PST и QST (поскольку они являются соответственными углами треугольники PST и STQ, заключенными между радиусами и хордой). В равнобедренном треугольнике, соответствующие углы у основания равны, поэтому углы PST и QST равны. Мы можем обозначить этот угол как а. Теперь, использовав свойство косинуса значений соответствующих углов треугольников PST и STQ, мы можем выразить cos(PST) через cos(QST): cos(PST) = cos(QST)/cos(a) Теперь, подставим это значение в уравнение для ST*cos(PST): ST*cos(QST)/cos(a) = x*cos(QST) Теперь, сократим cos(QST) с обеих сторон: ST/cos(a) = x Теперь, давайте рассмотрим треугольник PQS. У нас есть известная сторона PQ и два известных угла, PST и SQP. Угол SQP - это угол, заключенный между касательной к окружности u и хордой PQ, и он совпадает с углом актачательной к окружности n: Теперь, рассмотрим треугольник STQ. Так как SP:SQ=1:4, мы можем представить SP и SQ как a и 4a соответственно. Таким образом, SP=PT=a и SQ=4a. Также известно, что PT и SQ касаются окружности u в одной точке T, то есть PT=SQ. Теперь мы можем записать уравнение для PT через a: a^2 = (4a)^2 a^2 = 16a^2 Теперь, возведем обе стороны уравнения в квадрат: a^2 = 16a^2 a^4 = 256a^4 Теперь, давайте рассмотрим треугольник PST. Так как PT и ST это радиусы окружностей, они равны между собой. Теперь, используем теорему Пифагора: PT^2 = SP^2 + ST^2 Теперь, подставим известные значения: a^2 = a^2 + ST^2 ST^2 = 0 Таким образом, ST=0. Теперь вернемся к уравнению ST*cos(PST) = SQ*cos(QST) и подставим известные значения: 0*cos(PST) = 4a*cos(QST) Так как ST=0, то у нас напротив стоит ноль. Теперь у нас остается уравнение: 0 = 4a*cos(QST) Теперь мы можем решить это уравнение, разделив обе стороны на 4a: 0/a = cos(QST) Таким образом, мы получаем: cos(QST) = 0 Теперь, используем этот результат в уравнении ST*cos(PST) = SQ*cos(QST): ST*cos(PST) = SQ*0 Таким образом, мы получаем: ST*cos(QST) = 0 Теперь у нас остается одно уравнение: ST = 0 Окончательный ответ: PT=ST=0.