Данная задача связана с теорией игр и стратегий. Если мы посмотрим на само условие задачи, то можем заметить, что Андрей и Борис вытягивают карточки из мешочка поочередно. То есть, они играют в альтернативные ходы. Для того чтобы ответить на вопрос задачи - "на какое наибольшее число сумма Андрея может быть больше суммы Бориса?" - нужно выяснить, кому из игроков выгоднее идти первым и какую стратегию выбрать. Для начала посмотрим на две крайние ситуации. Если наибольшее число на карточке Бориса равно 1, то его сумма будет равняться 180, и быть больше этого числа нельзя. С другой стороны, если наибольшее число на карточке Бориса равно 200, то его сумма уже будет равняться 180 + 200 = 380. Зная эти две крайние ситуации, попытаемся определить оптимальную стратегию для Андрея. Рассмотрим игру с обратной стороны: начнем с момента, когда в мешочке остается только одна карточка. В данной ситуации Андрей вытягивает последнюю карточку и сумма его чисел равна 14. Если Борис был вынужден вытянуть последнюю карточку, то его сумма равна 180. Теперь рассмотрим следующую ситуацию: если в мешочке осталось две карточки. В этом случае стратегия Андрея заключается в том, чтобы выбрать из двух карточек ту, которая будет наиболее выгодной для Бориса. Если одна из карточек имеет наибольшее число 200, то Андрей будет вынужден вытянуть другую карточку с числом меньше 200, чтобы сделать сумму чисел Бориса наибольшей. Таким образом, он выберет числа суммы 200 + 14 = 214. Если же обе карточки имеют числа меньше 200, то Андрей выберет ту карточку, на которой будет написано наибольшее число, чтобы минимизировать разницу между суммами. Например, если числа на карточках равны 180 и 199, то Андрей выберет карточку с числом 199 и его сумма будет равна 199 + 14 = 213, тогда как сумма Бориса будет равна 180 + 200 = 380. Теперь давайте перейдем к игре с тремя карточками. Обратим внимание, что в игре с тремя карточками возможно только два состояния: 1) Борис вытягивает две карточки. Андрей вынужден вытянуть третью карточку. 2) Борис вытягивает одну карточку. Остается две карточки. Андрей вытягивает одну карточку. Остается одна карточка, которую вытягивает Борис. Опять же, в каждом состоянии Андрей будет стремиться выбрать наихудшую карточку для Бориса или максимально уменьшить разницу в суммах. Рассмотрим второе состояние. Если две карточки имеют числа 199 и 198, то Андрей выберет карточку с числом 199, его сумма будет равна 199 + 14 = 213. Тогда Борис останется с карточкой с числом 198 и его сумма будет равна 198 + 180 = 378. Теперь рассмотрим первое состояние. Предположим, что две карточки имеют числа 198 и 199, а третья карточка имеет число 200. Андрей вынужден вытянуть третью карточку, его сумма будет равна 200 + 14 = 214. Затем Борис будет выбирать из двух карточек, его сумма может быть равна либо 180 + 198 = 378, либо 180 + 199 = 379. Таким образом, получается, что стратегия Андрея должна заключаться в том, чтобы выбирать наихудшую карточку для Бориса на каждом ходу. Из приведенного выше анализа видно, что наилучшая стратегия для Андрея состоит в том, чтобы собирать числа, которые максимально приближены к 200, чтобы максимизировать разницу в суммах между ним и Борисом. Теперь давайте рассмотрим игру с 200 карточками. Согласно стратегии, нам нужно максимально наполнить наши карточки числами, которые приближены к 200. Поскольку сумма всех чисел от 1 до 200 равняется 20100, и Андрей начинает игру с числом 14, он должен максимизировать сумму своих чисел до 20100 - 14 = 20086. Зная, что наибольшее число на карточке Бориса равно 180, его сумма будет равна 180 * 100 + 180 = 18180. Таким образом, наибольшая возможная разница между суммами Андрея и Бориса составляет 20086 - 18180 = 191006. Ответ: Наибольшее число, на которое сумма Андрея может быть больше суммы Бориса, равно 191006.