Для начала найдем направляющий вектор прямой L. Уравнение прямой задано в параметрической форме:
x - 2/1 = y + 6/-4 = z - 2/5 = t.
Направляющий вектор прямой L можно найти, используя координаты двух точек прямой L. Рассмотрим точку A(2, -6, 2), соответствующую t = 0, и точку B(3, -8, 3), соответствующую t = 1. Тогда направляющий вектор будет равен:
AB → = B - A = (3, -8, 3) - (2, -6, 2) = (1, -2, 1).
Теперь проецируем точку P(7, 2, -1) на прямую L. Проекция точки P на прямую L будет лежать на линии, касательной к прямой L и проходящей через точку P. Нормализуем направляющий вектор прямой L:
n → = (1, -2, 1) / √(1^2 + (-2)^2 + 1^2) = (1, -2, 1) / √6.
Теперь найдем вектор от точки P к проекции P'.
PP' → = PP → - P'P →,
где PP → это вектор, соединяющий точку P с какой-то точкой прямой L, и P'P → это вектор, соединяющий проекцию точки P с какой-то точкой прямой L.
Вектор PP → будем использовать в качестве направляющего вектора прямой, параллельной плоскости, в которой лежит прямая L. Зададим его таким, что x-координата равна 1:
PP → = (1, y, z) - (7, 2, -1) = (-6, y - 2, z + 1).
Для удобства продолжения вычислений заменим переменные y и z на параметры b и c соответственно:
PP → = (-6, b, c + 1).
При этом необходимо учесть, что PP → должен быть перпендикулярен к направляющему вектору L, то есть их скалярное произведение должно быть равно 0:
(-6, b, c + 1) * (1, -2, 1) = -6 + (-2b) + c + 1 = 0,
-2b - 5 = c.
Таким образом, вектор PP → будет иметь вид (-6, -2b, -2b - 5).
Теперь найдем вектор P'P →. Он будет перпендикулярен к направляющему вектору прямой L, поэтому P'P → должен быть параллелен этому направляющему вектору. Произведение вектора P'P → на направляющий вектор L должно быть равно 0:
(1, -2, -1) * (1, -2, 1) = 1 + 4 - 1 = 4.
Теперь найдем координаты проекции P' точки P на прямую L:
P'P → = k(1, -2, 1),
где k - коэффициент пропорциональности. Подставим координаты проекции P' в выражение:
(1 - 7, -2 - 2, -1 - (-1)) = k(1, -2, 1).
(-6, -4, 0) = k(1, -2, 1).
Отсюда получаем, что k = -6.
Таким образом, координаты проекции P' точки P на прямую L равны:
P'(x', y', z') = (7 - 6, 2 + 12, -1 - 6) = (1, 14, -7).
Теперь найдем расстояние d от точки P до прямой L. Расстояние от точки до прямой можно найти, используя формулу:
d = |(PP → × L →)/|L →| |,
где PP → - вектор, соединяющий точку P с какой-то точкой прямой L, L → - направляющий вектор прямой L.
Поскольку PP → = (-6, -2b, -2b - 5), то векторное произведение обозначим как A →:
A → = PP → × L → = (-2b(-2) - (-2b - 5)(-2), (-2b - 5)(1) - (-6)(-2), (-6)(-2b) - (-6)(-2)) = (2b + 4, -2b - 5 - 12, 12b - 12),
|A → | = √((2b + 4)^2 + (-2b - 17)^2 + (12b - 12)^2).
Вектор L → = (1, -2, 1).
Теперь найдем расстояние d:
d = |A → |/|L → | = √((2b + 4)^2 + (-2b - 17)^2 + (12b - 12)^2) / √(1^2 + (-2)^2 + 1^2),
d = √((2b + 4)^2 + (-2b - 17)^2 + (12b - 12)^2) / √6.
Теперь найдем точку Q, симметричную точке P относительно прямой L. Координаты точки Q будут иметь вид:
Q(x'', y'', z'') = P' + (-x', -y', -z'),
Q(x'', y'', z'') = (1, 14, -7) + (-1, -14, 7),
Q(x'', y'', z'') = (0, 0, 0).
Таким образом, точка Q(0, 0, 0) является симметричной точкой P(7, 2, -1) относительно прямой L:x - 2/1 = y + 6/-4 = z - 2/5.
