Дана задача о круговом турнире по крестикам-ноликам с участием 5 школьников. Каждый школьник играл со всеми остальными, при этом за победу школьник получал 5 очков, за поражение - 0 очков, а за ничью - 2 очка. Известно, что по итогам турнира школьники суммарно набрали 48 очков. Также известно, что Витя одержал победу на 2 больше, чем Катя, но в 2 раза меньше, чем Наташа. Витя сыграл вничью только 1 раз. Для решения задачи введем обозначения: - Витя - V - Катя - K - Наташа - N - очки, набранные Витей - Vp - очки, набранные Катей - Kp - очки, набранные Наташей - Np Из условия задачи можно сформулировать следующие уравнения: 1. Vp = Kp + 2 (Витя одержал победу на 2 больше, чем Катя) 2. Vp = Np / 2 (Витя одержал победу в 2 раза меньше, чем Наташа) 3. Vp + Kp + Np = 48 (суммарное количество набранных очков) Заметим, что по каждому туру сыграно 5 игр, то есть каждый игрок получил 5 очков от всех остальных игроков. Таким образом, сумма всех очков равна: 5 * 5 = 25. Также учтем, что по итогам каждого тура количество побед равно количеству поражений, то есть сумма всех побед равна сумме всех поражений. Обозначим: - число побед Вити в турнире - Vw - число побед Кати в турнире - Kw - число побед Наташи в турнире - Nw Очки, набранные каждым игроком, можно рассчитать следующим образом: - Vp = Vw * 5 + Kw * 2 - Kp = Kw * 5 + Vw * 2 - Np = (Nw - 1) * 5 + 2 + Vw * 2 (учитываем, что Витя сыграл с Наташей вничью только 1 раз) Подставим значения Vp, Kp и Np в третье уравнение и найдем значения Vw, Kw, Nw: Vw * 5 + Kw * 2 + Kw * 5 + Vw * 2 + (Nw - 1) * 5 + 2 + Vw * 2 = 48 8Vw + 7Kw + 5Nw = 44 Таким образом, нам нужно найти такие значения Vw, Kw, Nw, при которых выполняется условие: 8Vw + 7Kw + 5Nw = 44 Приведем это уравнение к уравнению вида 5Nw = 44 - 8Vw - 7Kw и исследуем его решения для значений Vw и Kw от 0 до 5. Подставляя значения Vw и Kw от 0 до 5, найдем значения Nw, для которых выполняется условие: при значениях Vw = 0 и Kw = 0: 5Nw = 44, нацело не делится при значениях Vw = 0 и Kw = 1: 5Nw = 39, нацело не делится при значениях Vw = 0 и Kw = 2: 5Nw = 34, нацело не делится при значениях Vw = 0 и Kw = 3: 5Nw = 29, нацело не делится при значениях Vw = 0 и Kw = 4: 5Nw = 24, нацело не делится при значениях Vw = 0 и Kw = 5: 5Nw = 19, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 0: 5Nw = 36, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 1: 5Nw = 31, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 2: 5Nw = 26, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 3: 5Nw = 21, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 4: 5Nw = 16, нацело не делится при значениях Vw = 1 и Kw = 5: 5Nw = 11, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 0: 5Nw = 28, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 1: 5Nw = 23, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 2: 5Nw = 18, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 3: 5Nw = 13, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 4: 5Nw = 8, нацело не делится при значениях Vw = 2 и Kw = 5: 5Nw = 3, нацело не делится при значениях Vw = 3 и Kw = 0: 5Nw = 20, Nw = 4 при значениях Vw = 3 и Kw = 1: 5Nw = 15, нацело не делится при значениях Vw = 3 и Kw = 2: 5Nw = 10, нацело не делится при значениях Vw = 3 и Kw = 3: 5Nw = 5, нацело не делится при значениях Vw = 3 и Kw = 4: 5Nw = 0, Nw = 0 при значениях Vw = 3 и Kw = 5: 5Nw = -5, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 0: 5Nw = 12, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 1: 5Nw = 7, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 2: 5Nw = 2, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 3: 5Nw = -3, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 4: 5Nw = -8, нацело не делится при значениях Vw = 4 и Kw = 5: 5Nw = -13, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 0: 5Nw = 4, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 1: 5Nw = -1, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 2: 5Nw = -6, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 3: 5Nw = -11, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 4: 5Nw = -16, нацело не делится при значениях Vw = 5 и Kw = 5: 5Nw = -21, нацело не делится Таким образом, найдена только одна комбинация значений: Vw = 3, Kw = 0, Nw = 4. Для этих значений найдем очки, набранные каждым игроком: - Vp = Vw * 5 + Kw * 2 = 3 * 5 + 0 * 2 = 15 - Kp = Kw * 5 + Vw * 2 = 0 * 5 + 3 * 2 = 6 - Np = (Nw - 1) * 5 + 2 + Vw * 2 = (4 - 1) * 5 + 2 + 3 * 2 = 15 Таким образом, Витя набрал 15 очков, Катя - 6 очков, Наташа - 15 очков. Чтобы найти суммарное количество очков, набранных Игорем, Русланом и Катей, нужно вычесть набранные Витей, Катей и Наташей очки из общего количества очков: суммарное количество очков, набранных Игорем, Русланом и Катей = 48 - (15 + 6 + 15) = 12. Таким образом, суммарно Игорь, Руслан и Катя набрали 12 очков.