Пусть у бизнесмена с состоянием 450 тугриков есть друг с состоянием М.
Тогда условие дружбы состоит в том, что М делится и на 450, и на разность М - 450.
Заметим, что разность М - 450 также является делителем М.
Таким образом, М может принимать все значения, которые делятся и на 450, и на разность М - 450.
Перепишем это условие в виде уравнения:
М делится на 450 и на М - 450.
Разделим оба условия на НОД(450, М):
М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М).
Заметим, что НОД(450, М) также делится на 450, поэтому НОД(450, М)/НОД(450, М) действительно делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М).
То есть, это эквивалентно следующему условию:
М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М).
Таким образом, мы можем сказать, что М/НОД(450, М) является делителем 450/НОД(450, М) и делителем (М - 450)/НОД(450, М).
Рассмотрим делитель 450/НОД(450, М).
450 у нас имеет следующие простые множители: 2^1, 3^2, 5^2.
Таким образом, 450/НОД(450, М) можно представить в виде: 2^a * 3^b * 5^c, где a, b, c - такие натуральные числа, что 0 <= a <= 1, 0 <= b <= 2, 0 <= c <= 2.
Рассмотрим делитель (М - 450)/НОД(450, М).
(M - 450)/НОД(450, М) = М/НОД(450, М) - 450/НОД(450, М).
М/НОД(450, М) меньше или равно М, так как НОД(450, М) больше единицы.
Таким образом, М/НОД(450, М) может принимать значения от 1 до М (включительно).
450/НОД(450, М) может принимать значения от 1 до 2 * 3 * 5 = 30.
Итак, М/НОД(450, М) должно делиться на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М), поэтому М/НОД(450, М) должно являться делителем обоих выражений.
Очевидно, что для достижения максимального значения числа друзей, М/НОД(450, М) должно быть самым большим делителем обоих выражений.
Максимальный делитель 450/НОД(450, М) равен 30, поэтому М/НОД(450, М) должно быть равно 30.
Теперь мы знаем, что М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М), и что М/НОД(450, М) равно 30.
450/НОД(450, М) и (М - 450)/НОД(450, М) также должны делиться на 30.
Заметим, что 450/НОД(450, М) и (М - 450)/НОД(450, М) не могут быть оба равными 1, потому что иначе М/НОД(450, М) будет больше 30, а это невозможно.
Таким образом, либо 450/НОД(450, М) равно 1, а (М - 450)/НОД(450, М) - 30, либо наоборот.
Пусть 450/НОД(450, М) = 1. Тогда М - 450 = 30 * НОД(450, М).
НОД(450, М) - это наименьшее общее кратное простых множителей 450 и М.
450 имеет простые множители 2^1, 3^2, 5^2.
М может иметь либо 0, либо 1 или 2 простых множителя 2, 3 и/или 5.
Для каждой комбинации простых множителей, присвоим М минимальное значение, чтобы удовлетворить уравнению М - 450 = 30 * НОД(450, М).
1) Если М не имеет простых множителей 2, 3 и 5.
Тогда НОД(450, М) = 1, и М - 450 = 30. Решая это уравнение, получаем М = 480.
2) Если М имеет простой множитель 2.
Тогда М/2 не имеет простых множителей 2, 3 и 5.
Таким образом, мы можем использовать наше предыдущее решение и умножить М/2 на 2.
Тогда М = 960.
3) Если М имеет простой множитель 3.
Аналогично, М - 450 = 30 * НОД(450, М/3). Решая это уравнение, получаем М = 990.
4) Если М имеет простой множитель 5.
Аналогично, М - 450 = 30 * НОД(450, М/5). Решая это уравнение, получаем М = 1020.
Таким образом, наибольшее число друзей, которое может быть у бизнесмена с состоянием 450, равно максимальному из значений М, которые мы рассмотрели: 1020.
