Пусть у бизнесмена с состоянием 450 тугриков есть друг с состоянием М. Тогда условие дружбы состоит в том, что М делится и на 450, и на разность М - 450. Заметим, что разность М - 450 также является делителем М. Таким образом, М может принимать все значения, которые делятся и на 450, и на разность М - 450. Перепишем это условие в виде уравнения: М делится на 450 и на М - 450. Разделим оба условия на НОД(450, М): М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М). Заметим, что НОД(450, М) также делится на 450, поэтому НОД(450, М)/НОД(450, М) действительно делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М). То есть, это эквивалентно следующему условию: М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М). Таким образом, мы можем сказать, что М/НОД(450, М) является делителем 450/НОД(450, М) и делителем (М - 450)/НОД(450, М). Рассмотрим делитель 450/НОД(450, М). 450 у нас имеет следующие простые множители: 2^1, 3^2, 5^2. Таким образом, 450/НОД(450, М) можно представить в виде: 2^a * 3^b * 5^c, где a, b, c - такие натуральные числа, что 0 <= a <= 1, 0 <= b <= 2, 0 <= c <= 2. Рассмотрим делитель (М - 450)/НОД(450, М). (M - 450)/НОД(450, М) = М/НОД(450, М) - 450/НОД(450, М). М/НОД(450, М) меньше или равно М, так как НОД(450, М) больше единицы. Таким образом, М/НОД(450, М) может принимать значения от 1 до М (включительно). 450/НОД(450, М) может принимать значения от 1 до 2 * 3 * 5 = 30. Итак, М/НОД(450, М) должно делиться на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М), поэтому М/НОД(450, М) должно являться делителем обоих выражений. Очевидно, что для достижения максимального значения числа друзей, М/НОД(450, М) должно быть самым большим делителем обоих выражений. Максимальный делитель 450/НОД(450, М) равен 30, поэтому М/НОД(450, М) должно быть равно 30. Теперь мы знаем, что М/НОД(450, М) делится на 450/НОД(450, М) и на (М - 450)/НОД(450, М), и что М/НОД(450, М) равно 30. 450/НОД(450, М) и (М - 450)/НОД(450, М) также должны делиться на 30. Заметим, что 450/НОД(450, М) и (М - 450)/НОД(450, М) не могут быть оба равными 1, потому что иначе М/НОД(450, М) будет больше 30, а это невозможно. Таким образом, либо 450/НОД(450, М) равно 1, а (М - 450)/НОД(450, М) - 30, либо наоборот. Пусть 450/НОД(450, М) = 1. Тогда М - 450 = 30 * НОД(450, М). НОД(450, М) - это наименьшее общее кратное простых множителей 450 и М. 450 имеет простые множители 2^1, 3^2, 5^2. М может иметь либо 0, либо 1 или 2 простых множителя 2, 3 и/или 5. Для каждой комбинации простых множителей, присвоим М минимальное значение, чтобы удовлетворить уравнению М - 450 = 30 * НОД(450, М). 1) Если М не имеет простых множителей 2, 3 и 5. Тогда НОД(450, М) = 1, и М - 450 = 30. Решая это уравнение, получаем М = 480. 2) Если М имеет простой множитель 2. Тогда М/2 не имеет простых множителей 2, 3 и 5. Таким образом, мы можем использовать наше предыдущее решение и умножить М/2 на 2. Тогда М = 960. 3) Если М имеет простой множитель 3. Аналогично, М - 450 = 30 * НОД(450, М/3). Решая это уравнение, получаем М = 990. 4) Если М имеет простой множитель 5. Аналогично, М - 450 = 30 * НОД(450, М/5). Решая это уравнение, получаем М = 1020. Таким образом, наибольшее число друзей, которое может быть у бизнесмена с состоянием 450, равно максимальному из значений М, которые мы рассмотрели: 1020.