Дано состояние бизнесмена, которое равно 25 в 50-й степени (т.е. состояние = 25^50). Найдем все числа, на которые это состояние делится. Затем посчитаем количество таких чисел, которые превышают состояние бизнесмена, но меньше его квадратного корня.
Для начала, найдем квадратный корень из состояния:
sqrt(25^50) = sqrt(5^100) = 5^50
Теперь проверим все числа, на которые делится состояние:
Делятся на 1: 25^50
Делятся на 5: 5^50
Делятся на 25: 25^49
...
Чтобы число было больше состояния, в нем должна быть хотя бы одна двадцатка, поэтому будем рассматривать только числа, которые делятся на 25.
Числа, кратные 25, можно представить в виде 25^a, где а - натуральное число. При этом, состояние делится на 25^(50-a), чтобы получить другое число.
Теперь вопрос становится таким: сколько существует таких чисел, что состояние делится на 25^(50-a)?
Максимальное значение a, при котором состояние будет делиться на 25, равно 49 (т.е. число 25^49).
Теперь можем построить таблицу, где первый столбец - значение a, второй столбец - число 25^(50-a), третий столбец - количество таких чисел, которые превышают состояние, но меньше его квадратного корня:
| a | 25^(50-a) | Число чисел |
|---:|-------------|-------------|
| 1 | 25^(50-1) | |
| 2 | 25^(50-2) | |
| 3 | 25^(50-3) | |
| . | . | . |
| . | . | . |
| 48 | 25^(50-48) | |
| 49 | 25^(50-49) | |
Заметим, что вторая колонка будет уменьшаться на 25^2 каждую строку (т.е. 625 раз), а третья колонка будет увеличиваться на 625 каждую строку.
Теперь заполняем таблицу:
| a | 25^(50-a) | Число чисел |
|---:|-------------|-------------|
| 1 | 25^(50-1) | 625 |
| 2 | 25^(50-2) | 1250 |
| 3 | 25^(50-3) | 1875 |
| . | . | . |
| . | . | . |
| 48 | 25^(50-48) | 30000 |
| 49 | 25^(50-49) | 30625 |
Теперь суммируем все числа в третьей колонке:
625 + 1250 + 1875 + ... + 30000 + 30625 = 625 * (1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49)
Найдем сумму чисел от 1 до 49:
s = (n * (n + 1)) / 2, где n = 49
s = (49 * (49 + 1)) / 2 = 1225
Теперь найдем произведение суммы s на 625:
1225 * 625 = 765625
Значит, максимальное число друзей, которое может быть у бизнесмена, состояние которого равно 25 в 50-й степени, равно 765625.
