Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением. Пусть событие А - наступление пасмурного дня, а p - вероятность наступления этого события. Согласно условию задачи, p = 0,25 (25% дней пасмурные), следовательно, q = 1 - p = 1 - 0,25 = 0,75. Рассмотрим событие В - количество дней без солнца превысило 100. Поскольку не указано конкретно сколько дней является годом, следует предположить, что год состоит из n дней. Требуется найти вероятность P(B) = P(n > 100), т.е. искомая вероятность заключается в том, что количество пасмурных дней (X) будет меньше или равно 100. Аналогичные задачи решаются с помощью нормального распределения, однако в данной задаче значение p = 0,25 весьма мало, поэтому для приближенного решения будем использовать биномиальное распределение. Таким образом, вероятность P(X = k) для конкретной величины k описывается биномиальным распределением: P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), где С(n, k) обозначает число сочетаний из n по k (количество способов выбрать k пасмурных дней из n), а ^ означает возведение в степень. Для данной задачи: P(X <= 100) = P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 100). Однако, если год состоит из достаточно большого количества дней n, вычисление данной суммы становится трудозатратным. Воспользуемся аппроксимацией биномиального распределения с помощью нормального. Согласно правилу трёх сигм, при условии, что n*p >= 5 и n*q >= 5, мы можем аппроксимировать биномиальное распределение нормальным: - математическое ожидание нормального распределения равно mu = n*p, - стандартное отклонение равно sigma = sqrt(n*p*q). Вероятность P(X <= 100) в биномиальном распределении будет равна вероятности P(X <= 100+0.5) в нормальном распределении. Таким образом, для задачи P(X <= 100), мы можем использовать нормальное распределение с параметрами mu = n*p и sigma = sqrt(n*p*q), и искомую вероятность P(B) можно найти следующим образом: P(B) = P(X > 100) = 1 - P(X <= 100+0.5). Также задано, что p = 0.25. Давайте посчитаем вероятность P(B) при различных значениях n. Для начала рассмотрим пример с n = 365 (год состоящий из 365 дней): mu = n*p = 365*0.25 = 91.25, sigma = sqrt(n*p*q) = sqrt(365*0.25*0.75) ≈ 9.368. P(B) = 1 - P(X <= 100+0.5), где X имеет нормальное распределение N(mu, sigma). По таблице нормального распределения найдем значение Z, такое что P(Z <= Z) ≈ P(X <= 100+0.5), где Z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). P(B) = 1 - P(X <= 100+0.5) = 1 - P(Z <= Z), где Z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1). Найдем соответствующее значение Z: Z = (100+0.5 - mu) / sigma. Z = (100+0.5 - 91.25) / 9.368 ≈ 0.933. P(B) = 1 - P(Z <= 0.933). По таблице нормального распределения найдем значение P(Z <= 0.933) ≈ 0.8238. P(B) = 1 - 0.8238 ≈ 0.1762. Таким образом, вероятность того, что в течение года будет больше 100 дней без солнца, при n = 365, составляет около 0.1762 или примерно 17.62%. Давайте рассмотрим еще один пример с n = 1000 (год состоящий из 1000 дней): mu = n*p = 1000*0.25 = 250, sigma = sqrt(n*p*q) = sqrt(1000*0.25*0.75) ≈ 13.173. P(B) = 1 - P(X <= 100+0.5), где X имеет нормальное распределение N(mu, sigma). Найдем соответствующее значение Z: Z = (100+0.5 - mu) / sigma. Z = (100+0.5 - 250) / 13.173 ≈ -11.281. P(B) = 1 - P(Z <= -11.281). По таблице нормального распределения находим, что P(Z <= -11.281) близка к нулю. P(B) = 1 - 0 ≈ 1. Таким образом, при n = 1000, вероятность того, что в течение года будет больше 100 дней без солнца, составляет около 1 или 100%. В данной задаче при увеличении числа дней года вероятность P(B) стремится к 1, то есть вероятность того, что в течение года будет больше 100 дней без солнца, aproximiziérai können wir sagen, dass die Wahrscheinlichkeit P(B) gegen 1 strebt, das heißt die Wahrscheinlichkeit, dass es mehr als 100 Tage ohne Sonne gibt, steigt mit der Anzahl der Tage im Jahr.