Для решения данной задачи необходимо воспользоваться биномиальным распределением. Пусть X - количество дней без солнца в течение года. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 365 (количество дней в году) и p = 0,25 (вероятность, что день будет пасмурным). Искомая вероятность P(X > 100) - это вероятность того, что количество дней без солнца превысит 100. Используем формулу биномиальной вероятности: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), где C(n, k) - количество сочетаний из n элементов по k. Для нахождения P(X > 100) необходимо сложить вероятности P(X = 101), P(X = 102), ..., P(X = 365). P(X = k) = C(365, k) * 0,25^k * 0,75^(365 - k). Аналитически подсчитать все эти вероятности довольно сложно, поэтому воспользуемся аппроксимацией при помощи нормального распределения. В данном случае количество испытаний n (365) достаточно велико, а вероятность успеха (p = 0,25) не очень близка к 0 и 1. Поэтому можно использовать аппроксимацию распределением Пуассона или нормальное распределение. Мы выберем второй вариант, так как n достаточно велико. Согласно центральной предельной теореме, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами mu = n * p и sigma^2 = n * p * (1 - p). Тогда Z = (X - mu) / sigma имеет стандартное нормальное распределение. Для нашей задачи: mu = n * p = 365 * 0,25 = 91,25 sigma^2 = n * p * (1 - p) = 365 * 0,25 * 0,75 = 68,4375 sigma = sqrt(sigma^2) = sqrt(68,4375) ≈ 8,2708. Теперь мы можем использовать нормальное распределение для нахождения искомой вероятности. P(X > 100) = 1 - P(X <= 100) = 1 - P(Z <= (100 - mu) / sigma) где Z - стандартная нормально распределенная случайная величина, (100 - mu) - среднее отклонение от среднего, и sigma - стандартное отклонение. Вычислим значение: (100 - mu) / sigma = (100 - 91,25) / 8,2708 ≈ 1,0557. Для нахождения P(Z <= 1,0557) можно использовать таблицы значений стандартного нормального распределения или специальные программы или калькуляторы. Воспользуемся таблицей значений стандартного нормального распределения и найдем значение P(Z <= 1,0557), которое составляет примерно 0,8508. Тогда P(X > 100) = 1 - P(Z <= 1,0557) ≈ 1 - 0,8508 ≈ 0,1492. Таким образом, вероятность того, что в течение года будет больше 100 дней без солнца, при условии, что для каждого дня вероятность, что он будет пасмурным, одинакова и равна 0,25, составляет примерно 0,1492 или около 14,92%.