Исследуем предел последовательности (a_n = frac{cos n}{n}) при (n to infty). Для начала заметим, что (a_n) является последовательностью действительных чисел. Посмотрим на значение (frac{cos n}{n}) для нескольких (n): [n = 1: quad a_1 = frac{cos 1}{1} approx 0.5403, ] [n = 2: quad a_2 = frac{cos 2}{2} approx -0.4161, ] [n = 3: quad a_3 = frac{cos 3}{3} approx -0.1288, ] [ ldots ] [n = 1000: quad a_{1000} = frac{cos 1000}{1000} approx -0.0131. ] Мы видим, что значения (frac{cos n}{n}) меняются от (-1) до (1), причем с каждым n значение слегка приближается к нулю. Мы знаем, что (-1 leq cos n leq 1) для любого (n), поэтому (-frac{1}{n} leq frac{cos n}{n} leq frac{1}{n}) для любого (n). Теперь мы можем сделать вывод о пределе этой последовательности. Вспомним свойство стягивающейся последовательности: если для всех (n) верно, что (a_n leq b_n leq c_n), и (limlimits_{n to infty} a_n = limlimits_{n to infty} c_n = L), тогда (limlimits_{n to infty} b_n = L). Применим это свойство для последовательности (a_n): [-frac{1}{n} leq frac{cos n}{n} leq frac{1}{n}.] Мы знаем, что (limlimits_{n to infty} -frac{1}{n} = limlimits_{n to infty} frac{1}{n} = 0), поэтому [limlimits_{n to infty} frac{cos n}{n} = 0.] Таким образом, предел последовательности (a_n = frac{cos n}{n}) при (n to infty) равен (0).