Первым шагом решим геометрическую часть задачи. Для начала, нарисуем заданный в условии четырехугольник ABCD и окружность Ω, вписанную в него. Поскольку у нас есть точка M — середина дуги AD, не содержащей точки B и C, проведем радиусы AM и DM. Также проведем отрезки BM и CM, которые пересекают отрезок AD в точках P и Q соответственно.

       B

       |

       |

  ______M______

 /              

A----------Ω-----------D

               |

               |

               C

Далее, известно, что AP : PQ : QD = 1 : 7 : 2. Значит, отрезок AP составляет 1/10 от всей дуги AD, отрезок PQ — 7/10, а отрезок QD — 2/10. Мы знаем, что две хорды, проходящие через одну общую точку, разбивают их на сегменты, пропорциональные своим хордам. То есть, отрезки AP, PQ и QD делят хорду AD на сегменты, длины которых соответствуют их отношениям: 1 : 7 : 2. Давайте обозначим длину отрезка AD за a, также обозначим длины отрезков AP, PQ и QD как x, 7x и 2x соответственно. Тогда, a = x + 7x + 2x = 10x. Поскольку отрезок AM является радиусом окружности Ω, а отрезок MP является касательной к окружности в точке M, то угол MAP должен быть прямым углом. Это замечание позволяет нам использовать теорему Пифагора в треугольнике MAP для нахождения длины отрезка MP. По теореме Пифагора: MP² = AM² - AP² = (a/2)² - x² = a²/4 - x² Поскольку точка P лежит на отрезке AD, можно записать, что AP + PQ = AD. Заменяя известные значения, получаем: x + 7x = a 8x = 10x 2x = a Таким образом, мы нашли значение отрезка x: x = a/2. Подставим это значение обратно в наше выражение для MP²: MP² = a²/4 - (a/2)² = a²/4 - a²/4 = 0 Это означает, что отрезок MP имеет длину 0, то есть точка P совпадает с точкой M. Итак, мы получили, что MP = 0 и AP = x, а значит, отрезок AM делит отрезок AD пополам. Теперь перейдем к рассмотрению выражения (AC⋅BD) : (AB⋅CD). Обозначим длину отрезка AC за b и длину отрезка AD за a. Поскольку отрезок AM делит отрезок AD пополам, AM = AD/2 = a/2. Так как точка M является серединой дуги AD на окружности Ω, она также является серединой дуги BC. Это означает, что длина отрезка BM равна длине отрезка CM. Поскольку отрезок BM пересекает отрезок AD в точке P, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике BPM: BP² = BM² - MP² У нас уже есть значение отрезка MP: MP = 0, поэтому упростим выражение: BP² = BM² Аналогично для треугольника CPM: CP² = CM² - MP² = BM² - MP² = BM² Таким образом, мы получили, что BP² = CP², а значит, отрезки BP и CP равны по длине: BP = CP. Обозначим их длину за c. Воспользуемся теперь теоремой Пифагора в треугольнике ABC для нахождения длин отрезков AB и BC: AB² = AC² - BC² = b² - c² BC² = AC² - AB² = b² - c² Теперь рассмотрим выражение (AC⋅BD) : (AB⋅CD). Используя полученные ранее результаты: (AC⋅BD) : (AB⋅CD) = (AC⋅BD) / (AB⋅CD) = (b⋅a) / (b² - c²) : (a⋅c) = b / (b² - c²) Таким образом, значение выражения (AC⋅BD) : (AB⋅CD) равно b / (b² - c²). Вот и все!