Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и концентрических окружностей. Пусть O1, O2 и O3 - центры окружностей Ω1, Ω2 и ω соответственно. Так как окружность ω касается окружности Ω1 внутренним образом, то радиус окружности ω равен радиусу окружности Ω1 минус радиус окружности ω: r = R1 - r_ω, где r - радиус окружности ω, R1 - радиус окружности Ω1. Аналогично, так как окружность ω касается окружности Ω2 внешним образом, то радиус окружности ω равен радиусу окружности Ω2 плюс радиус окружности ω: r = R2 + r_ω, где R2 - радиус окружности Ω2. Из этих двух равенств можно составить уравнение: R1 - r_ω = R2 + r_ω. Заменим r_ω на x и получим: R1 - x = R2 + x, 2x = R1 - R2, x = (R1 - R2) / 2. Таким образом, радиус окружности ω равен половине разности радиусов окружностей Ω1 и Ω2. Для нахождения периметра треугольника O1O2O3 найдем длину сторон O1O2, O1O3 и O2O3. Строим перпендикуляр к O2O3, проходящий через точку O2. Пусть перпендикуляр пересекает окружность Ω1 в точках A и B. Так как O2B является радиусом окружности Ω1, то оно равно R1 = 12 (половина диаметра окружности Ω1). Аналогично, O2A также равно R1 = 12. Так как перпендикуляр проходит через точку O2, то O2O3/2 = O2A = R1. Так как O2O3 и O2A - это радиусы одной и той же окружности Ω1, то они равны. Также, O2O3/2 = (R2 - R1)/2 (половина разности радиусов окружностей Ω2 и Ω1). Отсюда получаем, что O2O3 = (R2 - R1). Теперь найдем длину стороны O1O3. Она представляет собой сумму радиусов окружностей Ω1 и ω: O1O3 = R1 + r, где r - радиус окружности ω. Используя ранее найденное значение радиуса окружности ω (x = (R1 - R2) / 2), получаем: O1O3 = R1 + x. Также найдем длину стороны O1O2. Она представляет собой разность радиусов окружностей Ω1 и Ω2: O1O2 = R1 - R2. Таким образом, периметр треугольника O1O2O3 равен: P = O1O2 + O1O3 + O2O3 = (R1 - R2) + (R1 + x) + (R2 - R1) = x = (R1 - R2) / 2. В итоге, периметр треугольника равен половине разности радиусов окружностей Ω1 и Ω2. Подставим значения радиусов: P = (R1 - R2) / 2 = (12 - 4) / 2 = 4.