Для определения закона распределения случайной величины Х нужно найти все возможные значения, которые может принимать Х, и соответствующие вероятности.
Пусть X - случайная величина, представляющая число поражений цели. Тогда возможные значения X могут быть 0, 1, 2 или 3, в зависимости от того, сколько стрелков попали точно в цель.
Чтобы найти вероятности каждого значения X, нужно учитывать вероятности стрелков поразить цель и произвести все возможные комбинации.
0 стрелков поразили цель:
P(X=0) = (вероятность, что первый стрелок не поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок не поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок не поразит цель)
= (1-0.7) * (1-0.8) * (1-0.6)
= 0.3 * 0.2 * 0.4
= 0.024
1 стрелок поразил цель:
P(X=1) = (вероятность, что первый стрелок поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок не поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок не поразит цель) +
(вероятность, что первый стрелок не поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок не поразит цель) +
(вероятность, что первый стрелок не поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок не поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок поразит цель)
= (0.7) * (1-0.8) * (1-0.6) +
(1-0.7) * (0.8) * (1-0.6) +
(1-0.7) * (1-0.8) * (0.6)
= 0.7 * 0.2 * 0.4 + 0.3 * 0.8 * 0.4 + 0.3 * 0.2 * 0.6
= 0.056 + 0.096 + 0.036
= 0.188
Аналогично, найдем вероятности для значения X=2 и X=3:
P(X=2) = (вероятность, что первый стрелок поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок не поразит цель) +
(вероятность, что первый стрелок поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок не поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок поразит цель) +
(вероятность, что первый стрелок не поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок поразит цель)
= (0.7) * (0.8) * (1-0.6) +
(0.7) * (1-0.8) * (0.6) +
(1-0.7) * (0.8) * (0.6)
= 0.7 * 0.8 * 0.4 + 0.7 * 0.2 * 0.6 + 0.3 * 0.8 * 0.6
= 0.224 + 0.084 + 0.144
= 0.452
P(X=3) = (вероятность, что первый стрелок поразит цель) * (вероятность, что второй стрелок поразит цель) * (вероятность, что третий стрелок поразит цель)
= (0.7) * (0.8) * (0.6)
= 0.336
Теперь у нас есть вероятности для каждого значения X:
P(X=0) = 0.024
P(X=1) = 0.188
P(X=2) = 0.452
P(X=3) = 0.336
График закона распределения X может быть представлен в виде столбчатой диаграммы, где вертикальная ось - вероятности, а горизонтальная ось - значения X. Каждому значению X соответствует свой столбец с высотой, равной вероятности.
Числовые характеристики случайной величины X могут быть найдены с помощью закона распределения.
Математическое ожидание (среднее значение) X:
E(X) = Σ(X * P(X))
Где Σ обозначает сумму по всем значениям X.
E(X) = 0 * 0.024 + 1 * 0.188 + 2 * 0.452 + 3 * 0.336
= 0 + 0.188 + 0.904 + 1.008
= 2.1
Среднее значение X равно 2.1
Дисперсия случайной величины X:
D(X) = Σ((X - E(X))^2 * P(X))
Где Σ обозначает сумму по всем значениям X.
D(X) = (0 - 2.1)^2 * 0.024 + (1 - 2.1)^2 * 0.188 + (2 - 2.1)^2 * 0.452 + (3 - 2.1)^2 * 0.336
= 2.1^2 * 0.024 + 1.1^2 * 0.188 + 0.1^2 * 0.452 + 0.9^2 * 0.336
= 4.41 * 0.024 + 1.21 * 0.188 + 0.01 * 0.452 + 0.81 * 0.336
= 0.10584 + 0.22708 + 0.00452 + 0.27216
= 0.6096
Дисперсия X равна 0.6096
Стандартное отклонение случайной величины X:
σ(X) = √D(X)
= √0.6096
≈ 0.7809
Стандартное отклонение X примерно равно 0.7809
Таким образом, мы получили закон распределения случайной величины X:
X | P(X)
------------
0 | 0.024
1 | 0.188
2 | 0.452
3 | 0.336
Среднее значение X равно 2.1, дисперсия X равна 0.6096, а стандартное отклонение X примерно равно 0.7809.
