Для того чтобы рассмотреть данное утверждение, давайте сначала разберемся, что такое конечный предел функции. Конечный предел функции f(x) при x→a определяется следующим образом: - Конечный предел существует, если для каждого положительного числа ε существует положительное число δ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x - a| < δ, выполняется неравенство |f(x) - A| < ε. - В данном определении А - это конечное значение предела функции при приближении аргумента x к a. Теперь перейдем к разбору утверждения: чтобы функция y = f(x) при x→a имела конечный предел А, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде: f(x) = А + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция при x→a. Действительно, если функцию f(x) можно представить в виде f(x) = А + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция при x→a, то можно утверждать, что предел функции f(x) при x → a будет равен А. Представление функции в таком виде означает, что часть f(x), не равная А, является бесконечно малой функцией при x → a. Из определения предела функции следует, что при достаточно малых значениях x, значения f(x) будут близкими к А, а разница будет сколь угодно мала. Таким образом, предел f(x) при x→a будет равен А. Однако, для того чтобы функция f(x) при x→a имела конечный предел А, описанное представление f(x) = А + α(x) является не только необходимым, но и достаточным условием. Это означает, что если для функции f(x) при x→a существует такое представление, то предел функции будет равен А. Но для других функций это представление может быть неприменимым, и предел функции может быть различным от А, либо может не существовать вовсе. Таким образом, утверждение верно: чтобы функция y = f(x) при x→a имела конечный предел А, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде f(x) = А + α(x), где α(x) – бесконечно малая функция при x→a. Но нужно помнить, что это условие не является единственным, и для других функций предел может быть различным или не существовать вовсе.