Для ответа на данный вопрос необходимо разобрать каждое из вариантов отдельно. Вариант 4). Если функция y = f(x) дифференцируема на (a, b), и f^'(x) ≥ 0 (f^'(x) ≤ 0), на этом промежутке, то функция y = f(x) не возрастает и не убывает на этом промежутке. Для начала разберемся с определениями. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b), если в каждой точке этого промежутка у нее существует производная (f^'(x)). Функция y = f(x) называется не возрастающей на промежутке (a, b), если для любых двух точек x1 и x2 из этого промежутка, для которых x1 ≤ x2, выполняется неравенство f(x1) ≥ f(x2). Функция y = f(x) называется не убывающей на промежутке (a, b), если для любых двух точек x1 и x2 из этого промежутка, для которых x1 ≤ x2, выполняется неравенство f(x1) ≤ f(x2). Теперь рассмотрим случай, когда f^'(x) ≥ 0 на промежутке (a, b). Для любой точки x этого промежутка, если производная f^'(x) больше или равна нулю, то это означает, что в этой точке функция имеет неположительный наклон или горизонтальную касательную, но не стремится к убыванию. Пусть у нас есть две точки x1 и x2 на промежутке (a, b), такие что x1 < x2. По определению дифференцируемой функции, между x1 и x2 должна существовать такая точка x, в которой производная f^'(x) равна нулю или отрицательна. Однако, согласно предположению, на нашем промежутке производная f^'(x) всегда больше или равна нулю. Это противоречие указывает на то, что такие две точки x1 и x2 на промежутке (a, b) не могут существовать. Итак, мы пришли к выводу, что если f^'(x) ≥ 0 на промежутке (a, b), то функция y = f(x) не возрастает на этом промежутке. Аналогично, если f^'(x) ≤ 0 на этом промежутке, то функция y = f(x) не убывает на этом промежутке. Таким образом, верное утверждение звучит следующим образом: Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a, b), и f^'(x) ≥ 0 (f^'(x) ≤ 0) на этом промежутке, то функция y = f(x) не убывает (не возрастает) на этом промежутке. Возможно можно упростить доказательство данного утверждения или привести дополнительные рассуждения, но данное объяснение основывается на базовых определениях дифференцируемости функции и возрастания/убывания функции на промежутке.