Для начала разберемся с определением возрастающей и убывающей функции на заданном промежутке. Функция y = f(x) называется возрастающей на интервале (a, b), если для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Аналогично, функция y = f(x) называется убывающей на интервале (a, b), если для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Теперь докажем утверждение: Если функция y = f(x) дифференцируема на (a, b), и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), на этом промежутке, то функция y = f(x) не возрастает и не убывает на этом промежутке. Для этого воспользуемся теоремой Лагранжа. Согласно этой теореме, если функция дифференцируема на интервале (a, b), то существует такая точка c из этого интервала, что производная функции f'(c) равна среднему значению производной на этом интервале. Таким образом, по условию у нас f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на промежутке (a, b). Значит, согласно теореме Лагранжа, существует точка c на этом промежутке, в которой f'(c) = 0. Если f'(c) = 0, то это означает, что в этой точке функция достигает экстремального значения. Но так как у нас имеется информация о знаке производной, то мы можем заключить, что в точке c функция возрастает либо убывает. Если f'(x) ≥ 0 на промежутке (a, b), то, согласно теореме Лагранжа, существует такая точка c на этом промежутке, в которой f'(c) = 0. И так как элементы слева от точки c возрастают, а справа от точки c также возрастают, то мы можем заключить, что функция y = f(x) неубывает на интервале (a, b). Это означает, что для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) ≤ f(x2). То есть функция не убывает на этом промежутке. Аналогично, если f'(x) ≤ 0 на промежутке (a, b), то, согласно теореме Лагранжа, существует такая точка c на этом промежутке, в которой f'(c) = 0. И так как элементы слева от точки c убывают, а справа от точки c также убывают, то мы можем заключить, что функция y = f(x) не возрастает на интервале (a, b). Это означает, что для любых двух точек x1 и x2 из этого интервала, таких что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) ≥ f(x2). То есть функция не возрастает на этом промежутке. Таким образом, утверждение верно: если функция y = f(x) дифференцируема на (a, b), и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), на этом промежутке, то функция y = f(x) не возрастает и не убывает на этом промежутке.