Никита применил не более 2 операций зачеркивания к числу 141498765 и получил в результате число, которое делится на 36. Нас интересует, сколько различных чисел можно получить Никита. Для начала рассмотрим, какое требование должно выполняться, чтобы число делилось на 36. Правило гласит, что число должно быть как кратно 4, так и кратно 9. То есть, сумма его цифр должна делиться на 9 и последние две цифры, рассматриваемые как двузначное число, должны быть кратны 4. Для расчетов удобно использовать формулу, ставящую каждой цифре числа вес в зависимости от ее позиции в числе, начиная с конца. Наше число 141498765 можно записать следующим образом: 1 * 10^8 + 4 * 10^7 + 1 * 10^6 + 4 * 10^5 + 9 * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 Сократим запись, применив сумму арифметической прогрессии: 1 * (10^8 + 10^6 + 10^4) + 4 * (10^7 + 10^5) + 9 * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 1 * (111 * 10^4) + 4 * (110 * 10^5) + 9 * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 111 * 10^4 + 440 * 10^4 + 9 * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 (111 + 440 + 9) * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 560 * 10^4 + 8 * 10^3 + 7 * 10^2 + 6 * 10^1 + 5 * 10^0 Представим полученное число в виде суммы: 5 * 10^5 + 6 * 10^4 + 0 * 10^3 + 8 * 10^2 + 7 * 10^1 + 5 * 10^0 Теперь преобразуем это число после двух операций зачеркивания. Для удобства обозначим первоначальное число за X. Очевидно, что в результате первой операции мы должны убрать одну из цифр числа X. Заметим, что для того, чтобы число, полученное после первой операции, было кратно 9, сумма его цифр также должна быть кратна 9. Если в числе X сумма его цифр была кратна 9, то при удалении одной из цифр сумма также останется кратной 9. Если же сумма цифр X не была кратна 9, то после удаления одной из цифр эта сумма изменится (с учетом того, что мы рассматриваем двузначное число как двузначное число, оно тоже может измениться), но, поскольку мы не знаем точную цифру, которую удалили, нам не известно, стала ли сумма кратной 9 или нет. В таком случае, если сумма не стала кратной 9 или была кратной 9, но после удаления одной цифры кратной уже не будет, то нам придется сделать еще одну операцию зачеркивания, чтобы число стало кратным 9. Поэтому, чтобы определить, какое число получится после двух операций зачеркивания, нужно рассмотреть два варианта: 1) Если цифры X образовывают число, кратное 9. 2) Если цифры X не образовывают число, кратное 9. Обратимся к первому варианту. Предположим, что X образует число, которое делится на 9. Это значит, что сумма его цифр также делится на 9. Удалим одну из цифр в X. Сумма оставшихся цифр будет иметь остаток от деления на 9, который может быть любым: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Очевидно, что при удалении одной цифры формируются различные суммы. Для удобства сформулируем следующую задачу: "Сколько существует различных сумм, кратных 9, которые можно получить, удаляя одну из цифр числа X?". Чтобы решить эту задачу, рассмотрим все возможные варианты сумм, кратных 9 (от 0 до 72): 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72. Далее анализируем каждую полученную сумму отдельно и исследуем, в каких случаях она возможна, если в исходном числе X удалить одну из его цифр. 1) Сумма 0 (0 * 9) достижима, если исходное число состоит из одних нулей. 2) Сумма 9 (1 * 9) достижима, если исходное число имело одну девятку. В случае, если исходное число составлено из одних нулей, также можно сформировать сумму 9. 3) Сумма 18 (2 * 9) достижима, если исходное число имеет одну восьмерку и одиннадцать единиц. Если исходное число составлено из одних нулей, тоже можно получить сумму 18. 4) Сумма 27 (3 * 9) достижима, если исходное число состоит из трех троек и четырех девяток. Если исходное число составлено из одних нулей, также можно сформировать сумму 27. 5) Сумма 36 (4 * 9) достижима, если исходное число имеет четыре двойки и семь троек. Если исходное число составлено из одних нулей, тоже можно получить сумму 36. 6) Сумма 45 (5 * 9) достижима, если исходное число состоит из пяти пятерок и шести четверок. Если исходное число составлено из одних нулей, также можно сформировать сумму 45. 7) Сумма 54 (6 * 9) достижима, если исходное число имеет шесть шестерок и пяти троек. Если исходное число составлено из одних нулей, тоже можно получить сумму 54. 8) Сумма 63 (7 * 9) достижима, если исходное число состоит из семи семерок и четырех двоек. Если исходное число составлено из одних нулей, также можно сформировать сумму 63. 9) Сумма 72 (8 * 9) достижима, если исходное число имеет восемь восьмерок и трех единиц. Если исходное число составлено из одних нулей, тоже можно получить сумму 72. Таким образом, мы рассмотрели возможные варианты для каждой из сумм. Для получения каждой суммы существует определенное количество различных чисел. Например, для суммы 0 достаточно лишь одного числа, состоящего из одних нулей. Для суммы 9 существует одно число - 9, и так далее. Обратимся к второму варианту, когда цифры исходного числа не образуют число, кратное 9. В этом случае нам потребуется выполнить вторую операцию зачеркивания, чтобы число, полученное после операции, стало кратным 9. Аналогично предыдущему варианту, найдем все возможные суммы, кратные 9, которые можно получить, удаляя одну из цифр исходного числа. Возможные суммы, кратные 9: 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72. Анализим каждую полученную сумму отдельно и исследуем, в каких случаях она может быть достигнута, если в исходном числе X удалить две его цифры. 1) Сумма 0 (0 * 9) достижима, если исходное число содержит хотя бы две нуля. Также окажется достижимой сумма 0, если исходное число имеет одну ноль и еще одну цифру, кратную 9. Например, число X = 900, после двух операций удаления одной цифры станет равным нулю. 2) Сумма 9 (1 * 9) достижима, если исходное число, содержащее минимум одну девятку, имело еще одну цифру, кратную 9. Например, число X = 909, после двух операций станет равным 9. Сумма 9 также может быть достигнута, если число X имеет одну ноль и еще одну цифру, равную 9 (например, при X = 1909). 3) Сумма 18 (2 * 9) достижима, если число X имеет одну восьмерку и одну девятку, либо две восьмерки. А также окажется достижимой сумма 18, если число X имеет две нули и еще одну цифру, равную 9. 4) Сумма 27 (3 * 9) достижима, если число X содержит одну восьмерку и две девятки. Также она будет достижимой, если число X состоит из точно двух нулей и еще одной цифры, кратной 9. 5) Сумма 36 (4 * 9) достижима, если число X имеет одну восьмерку, одну девятку и одну цифру от 0 до 8. 6) Сумма 45 (5 * 9) достижима, если число X содержит одну девятку и две цифры от 0 до 8. Также она будет достижимой, если число X состоит из одной нуля и двух цифр, кратных 9. 7) Сумма 54 (6 * 9) достижима, если число X состоит из двух девяток и одной