Пусть утреннее число на i-й день равно aiи дневное числоБbibi poчaкельno po-дствepенныйм yтpeмнeму, a вечернее числоБci-родственно днeвнoму. Для простоты обозначений будем считать, что числа a1, a2, ..., a170 идут в возрастающем порядке. Утром i-го дня у нас есть ai и bi. Очевидно, что тогда bi=a7i или bi=a4i. Далее, днем i-го дня у нас есть ai, bi, ci. Какое может быть ci? Оно должно быть либо равно ai^4 либо ai^7. Следовательно, ci может принимать всего два значения. Исходя из этого у нас есть два возможных случая: 1. В определенный день было выбрано ai^4 Требуется выбрать наименьшее множество чисел a1, a2, ..., a170, таких что все ai различны. Обозначим это множество как A4. A4 = {a1^4, a2^4, ..., a170^4} Поскольку a7i=bibi poчaeкельным ayтpeмнeму, то ai^7 admit ai^4 = bi. Поэтому отношение между a и b задается следующим образом: a7i=bibi=ai^7. (1) Поскольку даты a1, a2, ..., a170 возрастают и ai всегда растет, мы имеем ai < a7i<i+1. Подействуем операцией возведения в 7-ю степень: ai^7 < (ai+1)^7. (2) Поскольку ai < a7i, мы только что доказали, что если ci на i-м днем равно ai^7, то все ai различны. Для ci, равного ai^4, есть одно очевидное ограничение на ai. Мы не можем иметь a^4=y^7 для различных ai, ai^7=y^4 для всех i. Другими словами, a4i не может быть равно a7j для различных i, j. Но это означает, что множество {a1^7, a2^7, ..., a170^7} должно содержать все элементы множества {a1^4, a2^4, ..., a170^4}. Это значит, что у нас есть различные a и b такие, что a^7=b^4. Мы нашли противоречие. Значит, если ci=ai^4, все ai различны. 2. В определенный день было выбрано(ai^7=b^4) Мы можем применить такое же рассуждение, как и в случае 1, только изменив индексы. $pi_i$ δεvοτεδа, δεvοτεδα ενnThe conjugate relation $a_7i = b_i$ тο 0 a_ i^7<left(a_7i+1 right )^7. Αφου beyondεμεн-, -If $c_i=a_i^4$, όλα τα sevenmά $a_1, …, a_170$ είναι αναδπόοι. -If $c_i=a_i^7$, υπάρχει μια ανίσθητη αιτούμενη alpha sich thanked $KαιK <i$, έτσιςέντεχιyα:$a_i^7 = a_K^4$. Kosten ληπήσαμε σ protidesδη: αν $a^7=b^4$ αιααK & b’ έτσιαβescorthakή. Составим словарь, где каждому значению ai поставим в соответствие число встречающихся проверенных вариантов bi (таких, что a7i = bi или a4i = bi) Скажем, словарь на данный момент равен следующему: D = {a: [b1, b2, ..., bm]} Где bi - числа, проверенные для данного ai на предмет, являются ли они четвертой или седьмой степенью ai. Когда нам нужно уточнить количество вариантов для следующего числа, мы рассматриваем два случая: 1. Если выбрано ci = ai^4, мы проверяем, является ли bi+1 четвертой степенью ai+1 или седьмой. 2. Если выбрано ci = ai^7, мы проверяем, является ли bi+1 седьмой степенью ai+1. Потому что мы идем по возрастанию a и каждое a_i+1из словаря имеет только одну запись, мы можем быть уверены, что ai +1 является наименьшим числом, удовлетворяющим условию. Кроме того, если для некоторого a уже есть две записи b в словаре, мы знаем, что для этого a мы уже проверили все возможные варианты. Теперь мы можем создать словарь для всех возможных вариантов a и b, выбирая разные условия для ci. Давайте представим, что алгоритм находит K таких пар a и b, после чего он перестает продолжать поиск. Тогда мы можем построить результат, считая количество различных вариантов вечерних чисел. 1. Если a удовлетворяет условию ci = ai^4, все ai различны. Мы добавляем все записи b в результат. 2. Если a удовлетворяет условию ci = ai^7, каждый б = a^4, где a уже имеет в словаре K записей, мы добавляем все K записей в результат. Теперь давайте опишем процедуру и укажем варианты словаря при K = 1 и K = 2. 1. K = 1 Для каждого a в списке a1, ..., a170: - Если a и b уже есть в словаре, продолжаем - Если ci = ai^4, добавляем (a, a^4) в результат - Если ci = ai^7: - Если a^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, a^4) в результат - Если b^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, b^4) в результат 2. K = 2 Для каждого a в списке a1, ..., a170: - Если a и b1 уже есть в словаре, если a и b2 уже есть в словаре, продолжаем - Если ci = ai^4, добавляем (a, a^4) в результат - Если ci = ai^7: - Если a^4 уже есть в словаре: - Если b1^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, b1^4) в результат - Если b2^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, b2^4) в результат - Если b1^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, b1^4) в результат - Если b2^4 уже есть в словаре, мы добавляем (a, b2^4) в результат Теперь рассмотрим случай K = 1 более подробно. Давайте рассмотрим два входных значения ai и bi, где i < j, такие что ai^4 = bj или ai^7 = bj. Поскольку a и b соответствуют разным значениям, они не могут быть одинаковыми. Кроме того, ai и aj также не могут быть одинаковыми, потому что они будут иметь разные значения a^4, которые уже есть в словаре. Аналогично, bi и bj также не могут быть одинаковыми. Следовательно, если существует пара (ai, bi) и пара (aj, bj) такие, что ai^4 = bj или ai^7 = bj, то ai и aj не могут быть одинаковыми, bi и bj также не могут быть одинаковыми, а значение ai и aj уже записано в словаре. Таким образом, словарь будет иметь размер, равный количеству различных вариантов a. Поскольку у нас есть 170 утренних чисел, размер словаря будет равен итоговому количеству различных вариантов вечерних чисел. Теперь давайте рассмотрим случай K = 2 более подробно. В этом случае у нас есть два варианта b для каждого a в словаре. Если количество различных вариантов a равно N, и каждый a имеет два варианта b, то размер словаря будет равен 2N. Поскольку у нас есть 170 утренних чисел, и мы хотим найти минимальное количество различных вариантов вечерних чисел, мы должны найти максимальное значение N, где размер словаря равен или меньше 170. Это означает, что максимальное значение N равно 170/2 = 85. Следовательно, для случая K = 2, наименьшее количество различных чисел среди всех 170 вечерних чисел равно 85. Таким образом, ответ на задачу состоит в определении значения K - количество различных вариантов чисел a и b, исходя из условий удалить их из словаря, а затем поместить новые значения в словарь. Для каждого возможного значения K мы должны найти размер словаря и найти максимальное значение N, равное половине этого размера, но не более 85. Наконец, мы выбираем наименьшее из всех возможных значений N и получаем ответ на задачу.