Данная задача можно решить методом перебора всех возможных вариантов. В начальной ситуации все фишки лежат чёрной стороной вверх. В каждом ходе Валентин может выбрать и перевернуть одну фишку и все фишки слева от неё. Через три хода Валентин может перевернуть фишку в первой, второй или третьей позиции. Для начала определим все возможные ситуации после одного хода. Пусть 0 обозначает фишку с чёрной стороной, а 1 - фишку с белой стороной. После одного хода возможны следующие ситуации: 1. 1 0 0 0 0 0 0 - Валентин выбирает первую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 2. 0 1 0 0 0 0 0 - Валентин выбирает вторую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 3. 0 0 1 0 0 0 0 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 4. 0 0 0 1 0 0 0 - Валентин выбирает четвёртую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 5. 0 0 0 0 1 0 0 - Валентин выбирает пятую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 6. 0 0 0 0 0 1 0 - Валентин выбирает шестую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 7. 0 0 0 0 0 0 1 - Валентин выбирает седьмую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. После двух ходов на каждом из предыдущих вариантов возможны следующие ситуации: 1. 0 0 1 0 0 0 0 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает вторую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 2. 0 0 0 1 0 0 0 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 3. 0 0 0 0 1 0 0 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает четвёртую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 4. 0 0 0 0 0 1 0 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает пятую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 5. 0 0 0 0 0 0 1 - Валентин выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает шестую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. После трех ходов на каждом из предыдущих вариантов возможны следующие ситуации: 1. 0 0 0 1 0 0 0 - Валентин выбирает четвёртую фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает вторую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 2. 0 0 0 0 1 0 0 - Валентин выбирает четвёртую фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 3. 0 0 0 0 0 1 0 - Валентин выбирает четвёртую фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает четвёртую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. 4. 0 0 0 0 0 0 1 - Валентин выбирает четвёртую фишку и переворачивает её, затем выбирает третью фишку и переворачивает её, затем выбирает пятую фишку и переворачивает её. Все остальные фишки остаются без изменений. Итак, получаем следующие ситуации после трех ходов: 1. 0 0 0 0 1 0 0 - получена после трех ходов второго вида. 2. 0 0 0 0 0 1 0 - получена после трех ходов второго вида. 3. 0 0 0 1 0 0 0 - получена после трех ходов первого вида. 4. 0 0 0 0 0 0 1 - получена после трех ходов первого вида. Остается проверить, являются ли эти ситуации возможными через три хода. Для этого необходимо учесть, что в каждой ситуации фишка должна перевернуться трижды. Переворот фишки происходит только при ее выборе и во всех ситуациях мы выбираем только одну фишку. Таким образом, нам нужно найти ситуации, в которых фишка меняет свою сторону трижды и только она. Проанализируем все возможные ситуации: 1. 0 0 0 0 1 0 0 - В этой ситуации вторую фишку нужно перевернуть два раза. Но в соответствии со свойством фишек - переворачивается только одна фишка и все остальные фишки слева от неё, это невозможно. Ситуация невозможна через три хода. 2. 0 0 0 0 0 1 0 - В этой ситуации третью фишку нужно перевернуть два раза. Но в соответствии со свойством фишек - переворачивается только одна фишка и все остальные фишки слева от неё, это невозможно. Ситуация невозможна через три хода. 3. 0 0 0 1 0 0 0 - В этой ситуации четвертую фишку нужно перевернуть три раза. После первого хода она переворачивается, после второго хода она возвращается в исходное положение, после третьего хода она переворачивается. Эта ситуация возможна через три хода. 4. 0 0 0 0 0 0 1 - В этой ситуации седьмую фишку нужно перевернуть три раза. После первого хода она переворачивается, после второго хода она возвращается в исходное положение, после третьего хода она переворачивается. Эта ситуация возможна через три хода. Таким образом, из предложенных ситуаций, через три хода возможны только две: 1. 0 0 0 1 0 0 0 2. 0 0 0 0 0 0 1