Чтобы решить эту задачу, необходимо понять, как работает процесс окрашивания клеток и определить, как выбрать начальную клетку. При каждом ходе клетка окрашивается в черный цвет, и все ее соседние клетки становятся доступными для окрашивания на следующем ходу. Каждой клетке присваивается номер хода, на котором она была окрашена. Если выбрать начальную клетку в углу доски, у нее будет всего два соседних клетки, и эти клетки окрасятся на следующем ходу. Находясь на границе доски, эти клетки также будут иметь два соседних клетки, которые окрасятся на следующем ходу. Таким образом, все клетки на границе доски будут иметь номер хода 2. Если начальную клетку выбрать внутри доски, у нее будет четыре соседних клетки. Они окрасятся на втором ходу. Клетки на границе доски, но не угловые, имеют три соседние клетки и окрасятся на третьем ходу. Центральные клетки имеют четыре соседние клетки и окрашиваются на четвертом ходу. Таким образом, количество ходов, необходимых для окрашивания доски, зависит от расположения начальной клетки. При выборе начальной клетки в углу доски потребуется два хода, чтобы окрасить клетки на границе и три хода, чтобы окрасить остальные клетки. При выборе начальной клетки на границе, но не в углу, потребуется три хода, чтобы окрасить клетки на границе и четыре хода, чтобы окрасить остальные клетки. И, наконец, если начальную клетку выбрать внутри доски, потребуется четыре хода, чтобы окрасить клетки на границе и пять ходов, чтобы окрасить остальные клетки. Для данной задачи таблица имеет размеры 125 на 125 клеток. Начальная клетка находится в углу, что означает, что на первом ходу окрасится граница таблицы размерами 124 на 125 и 125 на 124 (249 клеток). На втором ходу окрасится граница таблицы размерами 122 на 123 (366 клеток). На третьем ходу окрасится граница таблицы размерами 120 на 121 (362 клетки). На четвертом ходу окрасится граница таблицы размерами 118 на 119 (356 клеток). На пятом ходу окрасится граница таблицы размерами 116 на 117 (352 клетки). И так далее, продолжая сокращаться на 6 клеток на каждом следующем ходу. Чтобы найти общее количество клеток, окрашенных в черный цвет, нужно сложить количество клеток на каждом ходу. 249 + 366 + 362 + 356 + 352 + ... + Количество клеток на последнем ходу. Обратим внимание, что количество клеток на каждом ходу составляет арифметическую прогрессию с первым членом 249, разностью -6 и количеством членов, равным (125 + 124 + 123 + ... + 3). Чтобы найти сумму прогрессии, воспользуемся формулой: S = (n/2)(a + l), где S - сумма членов прогрессии, n - количество членов прогрессии, a - первый член прогрессии, l - последний член прогрессии. В данном случае: n = 125 + 124 + 123 + ... + 3 = (125 + 3)(125 - 3 + 1)/2 = 128 * 121 / 2 = 7744 a = 249 l = 249 - 6 * (7744 - 1) = 249 - 6 * 7743 = 249 - 46458 = -46209 Теперь мы можем найти сумму прогрессии: S = (7744/2)(249 - 46209) = 3872 * -45960 = -178055520 Отрицательное значение означает, что это не количество клеток, а количество ходов, необходимых для окрашивания всех клеток. Чтобы получить положительное значение, умножим результат на -1: -1 * (-178055520) = 178055520 Таким образом, таблица будет окрашена полностью через 178055520 ходов.