Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим некоторые особенности игры и посмотрим, как они влияют на число ходов. В начале игры Арсений может выбрать любую клетку на доске и окрасить ее в черный цвет. Каждая окрашенная клетка будет влиять на своих соседей. После первого хода все соседи выбранной клетки окрашиваются в черный цвет. Соседи всех окрашенных клеток также окрашиваются на следующем ходу. Рассмотрим ситуацию, когда выбранная клетка находится в углу доски. В углу доски у каждой клетки есть только 2 соседа. Это означает, что на первом ходу окрасятся только 2 соседа выбранной клетки. На втором ходу окрасятся 4 соседа самой клетки и 2 соседа ее соседей (которые были окрашены на первом ходу). На третьем ходу окрасятся 8 соседей клетки, 4 соседа соседей и 2 соседа соседей соседей (которые были окрашены на предыдущих ходах). Видим, что количество окрашенных клеток на каждом ходу увеличивается в геометрической прогрессии. Допустим, что доска имеет размеры n x m, где n - количество строк, m - количество столбцов. Тогда у каждой клетки есть 4 соседа (если клетка не находится на краю доски). При выборе клетки на краю доски, количество соседей будет разным и может быть 2 или 3, в зависимости от положения клетки. Теперь можем сформулировать ответ на вопрос. В соответствии с вышеуказанными закономерностями, на каждом ходу количество клеток, которое окрашивается, увеличивается в геометрической прогрессии с множителем 2 (в случае соседей клетки на краю доски - с множителем, равным числу соседей). Общее количество клеток на доске равно n * m. Требуется определить, через сколько ходов таблица будет окрашена полностью. Для этого надо найти такое k, что сумма геометрической прогрессии 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(k-1) будет больше или равна n * m. Эта сумма задана формулой: S_k = (2^k - 1) / (2 - 1) = 2^k - 1. Решим неравенство: 2^k - 1 >= n * m. Для решения используем метод логарифмирования: k >= log_2(n * m + 1) Таким образом, чтобы доска была окрашена полностью, необходимо минимум k ходов, где k - минимальное целое число, к которому применима эта формула. Ответ: через log_2(n * m + 1) ходов таблица будет окрашена полностью.