Пусть трёхзначное число, записанное Аней - это $abc$, где $a, b, c$ - цифры числа. Тогда трёхзначное число, записанное Яной - это $cba$.
Согласно условию задачи, сумма чисел Ани и Яны равна 443:
$$abc + cba = 443$$
Выполняем сложение столбиком:
[
begin{array}{cccc}
& & a & b & c \
+ & c & b & a & \
cline{2-5}
& 4 & 4 & 3 & \
end{array}
]
Для начала решим тривиальный случай - ситуацию, когда $a = c = 1$.
Тогда получаем:
[
begin{array}{cccc}
& & 1 & b & 1 \
+ & 1 & b & 1 & \
cline{2-5}
& 4 & 4 & 3 & \
end{array}
]
Из этого следует, что $b = 2$. Проверим:
[
begin{array}{cccc}
& & 1 & 2 & 1 \
+ & 1 & 2 & 1 & \
cline{2-5}
& 2 & 4 & 3 & \
end{array}
]
Получили исходную сумму 443. Значит, $a = c = 1$, $b = 2$ - одно из трёх возможных решений.
Рассмотрим другие случаи, когда $a neq c$.
Пусть $a < c$ (случай $c < a$ аналогичен).
Тогда выполняются следующие условия:
begin{align*}
a + c + 1 &= 14 \
b + b &= 8
end{align*}
Из первого уравнения следует, что $a + c = 13$. Подставляем это значение во второе уравнение:
$$b + b = 8$$
Тогда $b = 4$. Проверяем:
[
begin{array}{cccc}
& & 3 & 4 & 1 \
+ & 1 & 4 & 3 & \
cline{2-5}
& 4 & 4 & 3 & \
end{array}
]
Условия выполняются. Получается, что $a = 3$, $b = 4$, $c = 1$ - ещё одно решение.
Рассмотрим последний случай, когда $a > c$ (случай $c > a$ аналогичен).
Тогда выполняются следующие условия:
begin{align*}
a + c &= 4 \
b + b + 1 &= 3
end{align*}
Из первого уравнения следует, что $a + c = 4$. Подставляем это значение во второе уравнение:
$$b + b + 1 = 3$$
Тогда $b = 1$. Проверяем:
[
begin{array}{cccc}
& & 4 & 1 & 3 \
+ & 3 & 1 & 4 & \
cline{2-5}
& 4 & 4 & 3 & \
end{array}
]
Условия выполняются. Получается, что $a = 4$, $b = 1$, $c = 3$ - и ещё одно решение.
Итак, мы получили 4 возможных трёхзначных числа, которые удовлетворяют условию задачи:
begin{align*}
1textbf{2}1 + 1textbf{2}1 &= 443 \
3textbf{4}1 + 1textbf{4}3 &= 443 \
1textbf{2}1 + 1textbf{2}1 &= 443 \
4textbf{1}3 + 3textbf{1}4 &= 443 \
end{align*}
Теперь найдём разность большего и меньшего чисел:
begin{align*}
121 - 112 &= 9 \
341 - 143 &= 198 \
121 - 112 &= 9 \
413 - 314 &= 99 \
end{align*}
Итак, получили, что разность большего и меньшего чисел равна 9, 198, 9, 99.
