Для решения задачи необходимо применить определение предела функции. Пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности называется число L, если для любого положительного числа e>0 найдется такое число x0>0, что для всех x>x0 выполняется неравенство |f(x)-L|<e. Обозначается предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности как lim x→∞ f(x) = L. Перейдем к решению задачи. Пусть f(N)=√N*sin(1/N). Вычислим предел данной функции при N стремящемся к бесконечности с помощью правила Лопиталя. Для этого вычислим предел отношения производной функции f(N) и производной функции N при N стремящемся к бесконечности: lim N→∞ f'(N)/N' = lim N→∞ [(cos(1/N)-sin(1/N)/N)/2√N] = lim N→∞ [(cos(1/N)-sin(1/N))/2N√N] Применяем правило Лопиталя: lim N→∞ f'(N)/N' = lim N→∞[(-sin(1/N)-cos(1/N))/(4N^2/√N)] = lim N→∞[-2sin(1/N)/4N^3/√N] Раскрываем формулу для sin(1/N): lim N→∞ f'(N)/N' = lim N→∞[-2*(1/N)/(4N^3/√N)] = lim N→∞ [-1/(2N^4/√N)] = 0 Таким образом, получили, что f(N) имеет предел при N стремящемся к бесконечности, равный 0. Исходя из этого, можем сделать вывод, что lim N→∞ √N*sin(1/N) = 0. Также можно проанализировать асимптотику данной функции. При N, стремящемся к бесконечности, функция √N возрастает более быстро, чем функция sin(1/N), которая имеет ограниченный предел. Поэтому можно сказать, что функция √N* sin(1/N) при N→∞ имеет асимптотику √N. Примеры. 1) Предел √10*sin(1/10): lim N→∞ √N*sin(1/N) = lim 10→∞ √10*sin(1/10) = 0.1584... 2) Предел √1000*sin(1/1000): lim N→∞ √N*sin(1/N) = lim 1000→∞ √1000*sin(1/1000) = 0.0316... 3) Предел √n*sin(2/n): lim N→∞ √N*sin(2/N) = lim N→∞ √N*2/N*cos(2/N) = lim N→∞ √2/N*cos(2/N) = 0 Таким образом, мы рассмотрели задачу на нахождение предела функции √N*sin(1/N) при N стремящемся к бесконечности. Мы использовали определение предела функции и правило Лопиталя для вычисления предела функции. Также мы проанализировали асимптотику данной функции и рассмотрели несколько примеров. Получили, что предел данной функции при N стремящемся к бесконечности равен 0.