Для построения графика функции ( y = x^2 + 4x + 7 ) сначала найдем дискриминант. Дискриминант вычисляется по формуле ( D = b^2 - 4ac ), где ( a ), ( b ) и ( c ) - коэффициенты при ( x ) в квадратном уравнении. В нашем случае ( a = 1 ), ( b = 4 ) и ( c = 7 ). Подставляем значения коэффициентов в формулу дискриминанта: ( D = 4^2 - 4 cdot 1 cdot 7 = 16 - 28 = -12 ). Так как дискриминант отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Теперь найдем значение функции ( y ) при ( x = 1 ): ( y = 1^2 + 4 cdot 1 + 7 = 1 + 4 + 7 = 12 ). По условию также нужно найти значение ( x ), при котором ( y = 7 ). Подставим ( y = 7 ) в уравнение: ( 7 = x^2 + 4x + 7 ). Получаем квадратное уравнение ( x^2 + 4x = 0 ). Найдем его корни: ( x(x + 4) = 0 ). Отсюда имеем два возможных значения ( x ): ( x = 0 ) и ( x = -4 ). Теперь найдем нули функции, то есть значения ( x ), при которых ( y = 0 ). Подставляем ( y = 0 ) в уравнение: ( 0 = x^2 + 4x + 7 ). Получаем квадратное уравнение ( x^2 + 4x + 7 = 0 ). Найдем его корни: ( D = 4^2 - 4 cdot 1 cdot 7 = 16 - 28 = -12 ). Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней, то есть нулей функции нет. Теперь найдем промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ). Для этого найдем вершину параболы, которая является точкой минимума функции ( y ). Вершина параболы находится в точке с ( x )-координатой ( x = -frac{b}{2a} ), где ( a ), ( b ) и ( c ) - коэффициенты при ( x ) в квадратном уравнении. В нашем случае ( a = 1 ) и ( b = 4 ). ( x = -frac{4}{2 cdot 1} = -2 ). Подставляем ( x = -2 ) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение ( y ): ( y = (-2)^2 + 4 cdot (-2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3 ). Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами ( (-2, 3) ). Теперь анализируем промежутки, в которых ( y > 0 ) и ( y < 0 ) при движении от левого к правому концу оси ( x ). - Когда ( x < -2 ), ( y > 0 ). - Когда ( -2 < x < infty ), ( y < 0 ). Наконец, определим промежутки, на которых функция возрастает. Функция возрастает на произвольном промежутке, если ее производная положительна на этом промежутке. Производная функции ( y = x^2 + 4x + 7 ) равна ( y' = 2x + 4 ). Производная положительна, когда ( 2x + 4 > 0 ). ( 2x > -4 ). ( x > -2 ). Таким образом, функция возрастает на промежутке ( (-2, infty) ). Итак, мы построили график функции ( y = x^2 + 4x + 7 ), определили направление ветвей, найдены значение функции при ( x = 1 ) и при ( y = 7 ), а также найдены нули функции, промежутки, в которых у больше нуля и у меньше нуля, и промежуток, на котором функция возрастает.