Для начала, определим формулу силы Архимеда, действующей на аппарат при его погружении на небольшие глубины: [ F_А = rho cdot g cdot V ] где ( F_А ) - сила Архимеда в ньютонах, ( rho ) - плотность воды, ( g ) - ускорение свободного падения, ( V ) - объем аппарата. Так как аппарат имеет форму сферы, его объем можно выразить как: [ V = frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 ] где ( r ) - радиус аппарата в метрах. Подставляем выражение для объема в формулу силы Архимеда: [ F_А = rho cdot g cdot left( frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 right) ] Теперь нам нужно сравнить эту силу с весом аппарата. Для этого вспомним, что вес определяется как: [ F = m cdot g ] где ( F ) - вес в ньютонах, ( m = rho cdot V ) - масса аппарата (плотность умноженная на объем). Теперь можно выразить массу аппарата через его объем и плотность: [ m = rho cdot left( frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 right) ] Подставляем это в выражение для веса: [ F = rho cdot left( frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 right) cdot g ] Задача заключается в том, чтобы определить радиус аппарата ( r ) при условии, что сила Архимеда равна его весу. То есть: [ F_А = F ] Подставим соответствующие выражения: [ rho cdot g cdot left( frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 right) = rho cdot left( frac{4}{3} cdot pi cdot r^3 right) cdot g ] Отменим общие множители: [ 4 cdot pi cdot rho cdot g cdot r^3 = 4 cdot pi cdot rho cdot g cdot r^3 ] Уравнение верно для любого радиуса ( r ). Это означает, что радиус аппарата может принимать любое значение. Таким образом, из заданных условий следует, что радиус аппарата ( r ) не имеет значимости при равенстве силы Архимеда и веса, так как уравнение равенства имеет бесконечное множество решений для ( r ).